通常の電磁気学の学習はクーロンの法則
から始まるが,これは遠隔作用の考え方をしているので,近接作用から導出する形にしたい.
また,電荷よりも場の方が実体だという考え方をした変形をする.
思考順序としては,
- 2個の点電荷が,ある距離だけ離れて存在している.
- 各電荷からは面密度がそれぞれの電束が放出されている.
- 空間の誘電率より,電束密度は電場に変換される.
- 場のエネルギー密度を全体積で積分することで系のエネルギー
が求められる. - エネルギーは電荷間の距離の関数であろうから,それで微分することでクーロン力を得る.
で行けると思う.
単位系は2元系とする.
電荷から生じる場をそれぞれとすれば,エネルギー密度は
となる.右辺第1,2項は電荷間距離によらないため電荷間距離で微分すれば消えるから無視して,エネルギーは
ということになる.
1次元
まずは最も簡単に考えて,1次元問題としよう.コンデンサのような状況を考える.
無限に広く無限に薄い板が2枚,軸に垂直に並んでいる.板Aは原点位置に固定されており電荷密度,板Bはの位置にあり電荷密度とする.
板その2にかかる力(つまりが変化した時のエネルギー変化)を求めよう.
(適当なサイト*1によるとで,ここでは電荷の面密度,力も面積当たりの力で考えてる.また力の向きは明らかにマイナス方向なのでとなるはず.)
板Aから生じる電束密度は
板Bからのは
したがって
積分して
の項はによらないのでで微分すれば消える.
特にのとき,
なのでこの考え方であってるはずだ.
2次元.一様電場中の線電荷
次に簡単な場合として,方向に一様電場がかかっている中に,平面に垂直に伸びる線状の電荷を置く.線電荷は座標 を通るとしよう.
力(単位長さあたり)は方向にのはずだ.
のかかる領域が無限に広いと積分が収束しないし,電荷の座標を動かしたところでトータルのエネルギー量が変わらなそうなので,の範囲に限定しよう.幅の十分に広いコンデンサに挟まれているような状況を考えている.
コンデンサによる電場は
線電荷によって生じる電束密度は
よって
まずで積分する.ただしとで場合分けする必要がある.
- の場合,
これをで積分して, - つまりの場合,マイナスがつくので
したがって
2次元.平行な線電荷
z軸に平行な2本の直線状に電荷が並んでいる状況を考える.2次元座標系を使うことにして,座標に,座標にがあるとする.
電束はそれぞれ
(力尽きた)
3次元
座標系としては円筒座標を採り,任意の点の座標をと書こう.方向の変化はないから積分が1個簡単になる.が点に,がにあるとする.
積分はこうなる:
次にを求めよう.任意の点と電荷の位置の距離で決まるから
同様に考えれば
と表される.これらの内積をとって
これをで積分するのか・・・?
追記
電磁気学演習 (物理テキストシリーズ 5)のp.56 例題15が参考になるか...?