平行電流間にはたらく力

磁場の導出．

x軸方向に伸びる直線の導線が２本，平行に静止して置かれている．導線はy方向に $\Delta y$ だけ離れているとする．それぞれの導線には電荷が一様に分布しており，その線密度を $q_1,q_2 \sim[\mathrm{C/m}]$ とする．
導線間にはたらく力は静電気力だけであり，y方向に

$\displaystyle F=\frac{1}{2\pi\epsilon}\frac{q_1q_2}{\Delta y}　\sim[\mathrm{N/m}]$
である．

この状況をローレンツ変換する．x方向に相対速度 $v$ で動く慣性系を考える．ローレンツファクタを

$\gamma:=1/\sqrt{1-(v/c)^2}>1$
とする．

x方向の距離がローレンツ収縮により $\mathrm{d}x'=\mathrm{d}x/\gamma$ になるので，電荷の線密度は

$q'_i=\gamma q_i,\quad(i=1,2)$ と大きくなる．そのため導線間にはたらく力も大きくなり
$\displaystyle F'_\text{predict}=\frac{1}{2\pi\epsilon}\frac{q'_1q'_2}{\Delta y}=\gamma^2 F$
と予想される（ $\Delta y$ に変化はない）．
しかし実際のところ，y方向の力 $F$ はx方向の相対速度によるローレンツ変換では変化しないはずだから
$F'_\text{actual}=F$
であろう．したがって，動いてる方の慣性系から見ると，クーロン力 $F'_\text{predict}$ を一部打ち消すように，
$\begin{align}F'_\text{actual}-F'_\text{predict} &=F-\gamma^2F\\ &=\left\{1-\frac{1}{1-(v/c)^2}\right\}F\\ &=\left\{-(v/c)^2+O( (v/c)^4)\right\}\frac{1}{2\pi\epsilon}\frac{q_1q_2}{\Delta y}\\ &\simeq -\frac{\mu}{2\pi}\frac{j_1j_2}{\Delta y} \quad (\because \mu=\frac{1}{c^2\epsilon},\ j_i:=q_iv)\\ \end{align}$
という「なんか変な引力」がはたらいているように見えることになる．

実際，平行電流間には磁場による引力