wetchのブログ

他人に見られることを想定していない書き散らかし独習ノート.物理学とかVBAとか.

電磁場の時間反転・空間反転での対称性について考え事

電磁場に時間反転や空間反転を施したとき,その符号はどのように変わるかについて考察.

文献調査

砂川電磁気学(1999)の考え方が一般的のようだ.

YouTube,ヨビノリ,基礎方程式の時間反転対称性,(2020),0:21:26

www.youtube.com
空間反転については言及なし.ポテンシャルについてもなし.E,DB,Hはそれぞれ同一視していたが,下式では区別して書いている(以下同様).
時間反転で以下のように変わる:

\begin{bmatrix}*&E&H&j\\*&B&D&\rho\end{bmatrix} \overset{t}{\mapsto} \begin{bmatrix}*&E&-H&-j\\*&-B&D&\rho\end{bmatrix}

J.J.サクライ,現代の量子力学(上) 第2版,(2015),p.388

空間反転は記述なし.E,DB,Hはそれぞれ同一視.
時間反転で

\begin{bmatrix}*&E&H&j\\*&B&D&\rho\end{bmatrix} \overset{t}{\mapsto} \begin{bmatrix}*&E&-H&-j\\*&-B&D&\rho\end{bmatrix}

北野正雄,電磁気学におけるパリティについて,(2010)

(調査中)パリティには,テンソルとしての階数と,擬性の2つの要因があるとのこと.さらに能動反転(系そのものを反転させる)と受動反転(座標軸のみを反転させる空間反転)の違い,ホッジ双対により2階テンソルをベクトルと考えたりすることも混乱の原因となっているらしい.
微分形式としての擬性とベクトル・スカラーとしての擬性をまとめてみる.ポテンシャルについては記述なし.

\begin{align}\begin{bmatrix}*&E&H&j\\*&B&D&\rho\end{bmatrix} &\sim \begin{bmatrix}*&1形式&擬1形式&擬2形式\\*&2形式&擬2形式&擬3形式\end{bmatrix}\\ &\sim \begin{bmatrix}*&ベクトル&擬ベクトル&ベクトル\\*&擬ベクトル&ベクトル&スカラー\end{bmatrix}\end{align}

北野正雄,マクスウェル方程式―電磁気学のよりよい理解のために,(2009),pp.223-230

時間反転については記述なし.

  • 能動反転(系そのものを反転させる)または成分

\begin{bmatrix}\phi&E&H&j\\A&B&D&\rho\end{bmatrix} \overset{xyz}{\mapsto} \begin{bmatrix}\phi&-E&H&-j\\-A&B&-D&\rho\end{bmatrix}

  • 受動反転(座標軸のみを反転させる空間反転)かつ実体

\begin{bmatrix}\phi&E&H&j\\A&B&D&\rho\end{bmatrix} \overset{xyz}{\mapsto} \begin{bmatrix}\phi&E&-H&-j\\A&B&-D&-\rho\end{bmatrix}

市口,電磁気学における混乱とCPT対称性の意義 -対称性に結びつく単位系-,(2009)

https://core.ac.uk/download/pdf/236666076.pdf

  • 空間反転

\begin{bmatrix}*&E&H&j\\A&B&D&\rho\end{bmatrix} \overset{xyz}{\mapsto} \begin{bmatrix}*&E&H&-j\\A&-B&-D&-\rho\end{bmatrix}

 また,体積,誘電率透磁率も空間反転でマイナスが付く擬量.
 ただし,H,Dについては出発点が異なれば異なる結果が得られることもあるとのこと.

  • 時間反転

\begin{bmatrix}\phi&E&H&j\\*&B&D&*\end{bmatrix} \overset{t}{\mapsto} \begin{bmatrix}\phi&E&-H&-j\\*&-B&D&*\end{bmatrix}

また,光速は時間反転でマイナスが付く.

  • 荷電対称性

全ての電磁的量は荷電反転でマイナスが付き,誘電率透磁率はつかない.

砂川重信,理論電磁気学第3版,(1999),pp.36-44

ポテンシャルや電荷電流については記述なし.またE,DB,Hはそれぞれ同一視.

  • 空間反転

\begin{bmatrix}*&E&H&j\\*&B&D&\rho\end{bmatrix} \overset{xyz}{\mapsto} \begin{bmatrix}*&-E&H&-j\\*&B&-D&\rho\end{bmatrix}

  • 時間反転

\begin{bmatrix}*&E&H&j\\*&B&D&\rho\end{bmatrix} \overset{t}{\mapsto} \begin{bmatrix}*&E&-H&-j\\*&-B&D&\rho\end{bmatrix}

ランダウ,リフシッツ,場の古典論(原書第6版),(1978),p.55

電荷電流については記述なし.

  • 時間反転

\begin{bmatrix}\phi&E&H&*\\A&B&D&*\end{bmatrix} \overset{t}{\mapsto} \begin{bmatrix}\phi&E&-H&*\\-A&-B&D&*\end{bmatrix}

考察

やりたいこと

  • 時間反転と空間反転を区別するのではなく,時空反転として統一的に記述したい.
  • 各変数ごとにマイナスが付くのかつかないのか思い出すのが大変なので,覚えやすい法則にしたい.

仮定

記法

  • 反転操作
    • 反転操作は電磁場などの物理量に対して行い、座標軸は動かさないものとする.
    • \overset{x}{\mapsto}:x軸方向,1方向だけについての空間反転. (\mathrm{d}t, \mathrm{d}x, \mathrm{d}y, \mathrm{d}z)\overset{x}{\mapsto}(\mathrm{d}t, -\mathrm{d}x, \mathrm{d}y, \mathrm{d}z) という変換だと定義する.
    • \overset{xyz}{\mapsto}:xyzの3方向で空間反転.(\mathrm{d}t, \mathrm{d}x, \mathrm{d}y, \mathrm{d}z)\overset{xyz}{\mapsto}(\mathrm{d}t, -\mathrm{d}x, -\mathrm{d}y, -\mathrm{d}z) という変換になる.
    • \overset{t}{\mapsto}:時間反転.(\mathrm{d}t, \mathrm{d}x, \mathrm{d}y, \mathrm{d}z)\overset{t}{\mapsto}(-\mathrm{d}t, \mathrm{d}x, \mathrm{d}y, \mathrm{d}z) という変換だと定義する.
  • \tilde{j}チルダ付きの量は微分形式
  • (t,x,y,z)をひとまとめにする4次元時空的な表記なんだか,3次元空間(x,y,z)+時間tなのか,中途半端な記法をしてるので注意.

考察結果

電流密度

まず電流密度を3次元の2次微分形式で表す:

\tilde{j}=j_x\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z +j_y\mathrm{d}z\,\mathrm{d}x +j_z\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y.

空間反転として3軸をいっぺんに反転させるのではなく,x軸だけ反転させることを考える.このときjの成分は(j_x,j_y,j_z) \overset{x}{\mapsto} (-j_x,j_y,j_z)と変わるとする(仮定).また\mathrm{d}x \overset{x}{\mapsto} -\mathrm{d}xとなることも合わせると,
\begin{align}\tilde{j} \overset{x}{\mapsto}& (-j_x)\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z +j_y\mathrm{d}z (-\mathrm{d}x) +j_z(-\mathrm{d}x) \mathrm{d}y\\ &=-\tilde{j}.\end{align}
このように,1つの軸に対して空間反転させると\tilde{j}にはマイナスが付く.

時間反転については時間も含めた4次元の3次微分形式*2

\mathrm{d}t\wedge\tilde{j}=j_x\mathrm{d}t\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z +j_y\mathrm{d}t\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}x +j_z\mathrm{d}t\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y
について同じことが成り立つとする(仮定*3).すなわち
\mathrm{d}t\wedge\tilde{j} \overset{t}\mapsto -(\mathrm{d}t\wedge\tilde{j})
とする.反転後の成分にプライムを付けて書き下すと,
\mathrm{d}t\wedge\tilde{j} \overset{t}{\mapsto} (-\mathrm{d}t)\wedge(j'_x\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z +j'_y\mathrm{d}z\,\mathrm{d}x +j'_z\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y)
となるので,成分は
(j_x,j_y,j_z) \overset{t}{\mapsto} (j'_x,j'_y,j'_z)=(j_x,j_y,j_z)
で符号が変わらないことが分かる.

電荷密度,連続の式

連続の式(を成分で書いたもの)

\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial j_x}{\partial x}+\frac{\partial j_y}{\partial y}+\frac{\partial j_z}{\partial z}=0
をx軸反転および時間反転して,上で導いたjの変換則と整合するように考えると,電荷密度の変換則は
\rho\begin{cases}\overset{x}{\mapsto} \rho, \\ \overset{t}{\mapsto}-\rho\end{cases}
であることが分かる.*4

微分形式としては電荷密度\tilde{\rho}は3次で

\tilde{\rho}=\rho\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z \begin{cases}\overset{x}{\mapsto} \rho (-\mathrm{d}x) \mathrm{d}y\,\mathrm{d}z=-\tilde{\rho}, \\ \overset{t}{\mapsto} (-\rho) \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z=-\tilde{\rho} \end{cases}
であり,x軸反転でも時間反転でも\tilde{j}と同様にマイナスが付くことが分かる.

連続の式を微分形式で書くと

\displaystyle \frac{\partial \tilde{\rho}}{\partial t}+\mathrm{d}\tilde{j}=\tilde{0}
であり,微分演算子\partial/\partial t,\mathrm{d}はx軸反転,時間反転いずれでも変化しない*5とすれば,各反転をした後も成り立つ.*6

電束密度ガウス

ガウス則(を成分で書いたもの)

\displaystyle \frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{\partial D_z}{\partial z}=\rho
\rhoの変換則と整合するように考えると,電束密度Dの成分は
(D_x,D_y,D_z)\begin{cases}\overset{x}{\mapsto} (-D_x,D_y,D_z),\\ \overset{t}{\mapsto} (-D_x,-D_y,-D_z)\end{cases}
という変換をすることが分かる.

微分形式としては2次で

\begin{align}\tilde{D}&=D_x\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z+D_y\mathrm{d}z\,\mathrm{d}x+D_z\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \\ &\begin{cases}\overset{x}{\mapsto} (-D_x)\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z+D_y\mathrm{d}z(-\mathrm{d}x)+D_z(-\mathrm{d}x)\mathrm{d}y=-\tilde{D},\\ \overset{t}{\mapsto} (-D_x)\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z+(-D_y)\mathrm{d}z\,\mathrm{d}x+(-D_z)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=-\tilde{D}\end{cases}\end{align}
と表され,1軸反転でマイナスが付く.

ガウス則の反転を微分形式で書くと

\mathrm{d}\tilde{D}=\tilde{\rho} \overset{x \text{ or } t}{\longmapsto} \mathrm{d}(-\tilde{D})=(-\tilde{\rho}).

磁場,アンペール

アンペール則を成分で書いたもの

\displaystyle \left(\frac{\partial H_y}{\partial z}-\frac{\partial H_z}{\partial y}\right)-\frac{\partial D_x}{\partial t}=j_x,\quad \text{etc.}
と上述のj,Dの成分の変換則を使うと,磁場の成分(H_x,H_y,H_z)の変換則は
(H_x,H_y,H_z)\begin{cases} \overset{x}{\mapsto} (H_x,-H_y,-H_z),\\ \overset{t}{\mapsto} (H_x,H_y,H_z)\end{cases}
である.

微分形式で書くと,\tilde{H}は3次元の1次微分形式で

\tilde{H}=H_x\mathrm{d}x+H_y\mathrm{d}y+H_z\mathrm{d}z
と表せるのでx軸反転は
\tilde{H} \overset{x}{\mapsto} H_x(-\mathrm{d}x)+(-H_y)\mathrm{d}y+(-H_z)\mathrm{d}z=-\tilde{H},
時間反転は4次元の2次微分形式で考えて
\mathrm{d}t\wedge\tilde{H} \overset{t}{\mapsto} (-\mathrm{d}t)\wedge(H_x\mathrm{d}x+H_y\mathrm{d}y+H_z\mathrm{d}z)=-(\mathrm{d}t\wedge\tilde{H})
となり,1軸反転でマイナスが付くことが分かる.

アンペール則の反転を微分形式で書けば

\displaystyle \mathrm{d}\tilde{H}-\frac{\partial \tilde{D}}{\partial t}=\tilde{j} \overset{x \text{ or } t}{\longmapsto} \mathrm{d}(-\tilde{H})-\frac{\partial(-\tilde{D})}{\partial t}=(-\tilde{j}).

電場,磁束密度,ファラデー則,構成方程式

上述した「定数は時間反転,空間反転しても不変」という仮定のもとで,成分についてはEDと,BHと同じ変換則

(E_x,E_y,E_z)\begin{cases} \overset{x}{\mapsto} (-E_x,E_y,E_z), \\ \overset{t}{\mapsto} (-E_x,-E_y,-E_z),\end{cases}
(B_x,B_y,B_z)\begin{cases} \overset{x}{\mapsto} (B_x,-B_y,-B_z),\\ \overset{t}{\mapsto} (B_x,B_y,B_z)\end{cases}
に従う.ファラデー則
\displaystyle \frac{\partial B}{\partial t}+\nabla\times E=0
との整合性もちゃんと取れていることが確認できる.
ただし微分形式では変換則がこれまで(1軸反転でマイナスが付く)と違う.

  • 電場
    3次元の1次微分形式\tilde{E}=E_x\mathrm{d}x+E_y\mathrm{d}y+E_z\mathrm{d}zをx軸反転すると
    \tilde{E} \overset{x}{\mapsto} (-E_x)(-\mathrm{d}x)+E_y\mathrm{d}y+E_z\mathrm{d}z=\tilde{E}.
    4次元の2次微分形式\mathrm{d}t\wedge\tilde{E}を時間反転すると
    \begin{align}\mathrm{d}t\wedge\tilde{E} \overset{t}{\mapsto} &(-\mathrm{d}t)\wedge((-E_x)\mathrm{d}x+(-E_y)\mathrm{d}y+(-E_z)\mathrm{d}z)\\&=(-\mathrm{d}t)\wedge(-\tilde{E})=\mathrm{d}t\wedge\tilde{E}.\end{align}
  • 磁束密度
    3次元の2次微分形式\tilde{B}=B_x\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z+B_y\mathrm{d}z\,\mathrm{d}x+B_z\mathrm{d}x\,\mathrm{d}yを反転すると,x軸反転は
    \tilde{B} \overset{x}{\mapsto} B_x\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z+(-B_y)\mathrm{d}z(-\mathrm{d}x)+(-B_z)(-\mathrm{d}x)\mathrm{d}y=\tilde{B},
    時間反転は
    \tilde{B} \overset{t}{\mapsto} B_x\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z+B_y\mathrm{d}z\,\mathrm{d}x+B_z\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\tilde{B}.

すなわち\mathrm{d}t\wedge\tilde{E},\ \tilde{B}は1軸反転で符号が変わらない.

\tilde{D},\ \mathrm{d}t\wedge\tilde{H}は反転するとマイナスが付き,\mathrm{d}t\wedge\tilde{E},\ \tilde{B}には付かないので,構成方程式はある意味「ゆがんだ」変換となる.このゆがみを\star演算子で表すことにすると*7\star自体が変換を受けて

\left.\begin{align}\star \tilde{E}&=\tilde{D}\\ \star\tilde{B}&=\tilde{H}\end{align}\right\} \overset{x\text{ or }t}\mapsto \left\{\begin{align}(-\star) \tilde{E}&=-\tilde{D}\\ (-\star) \tilde{B}&=-\tilde{H}\end{align}\right.
と書ける.

ポテンシャル

ポテンシャルの式を成分で書いた

\displaystyle -\frac{\partial A_x}{\partial t}-\frac{\partial \phi}{\partial x}=E_x,\quad \text{etc.}
と電場Eの成分の変換則を突き合せれば,\phi,Aの成分は
\phi \begin{cases}\overset{x}{\mapsto} \phi, \\ \overset{t}{\mapsto} -\phi,\end{cases}
(A_x, A_y, A_z) \begin{cases}\overset{x}{\mapsto} (-A_x,A_y,A_z), \\ \overset{t}{\mapsto} (A_x,A_y,A_z)\end{cases}
という変換則に従うことが分かる.

微分形式では

となり符号が変わらない.

\displaystyle -\frac{\partial \tilde{A}}{\partial t}-\mathrm{d}\tilde{\phi}=\tilde{E}
もそのまま成り立つ.

ゲージ変換

任意関数\chiを使って\phi'=\phi-\frac{\partial \chi}{\partial t},\ A'=A+\nabla\chiと変換してもポテンシャル\phi',A'が元の\phi,Aと同じ変換則に従うなら,

 \chi\begin{cases}\overset{x}{\mapsto}\chi \\ \overset{t}{\mapsto}\chi\end{cases}
である.
微分形式でも,\chiは普通の(擬ではない)0形式な訳だからそのままでよい.微分形式でも
\begin{align}{\phi'}\mathrm{d}t&=\phi\mathrm{d}t-\partial_t\chi\mathrm{d}t,\\ \tilde{A}'&=\tilde{A}+\mathrm{d}\chi.\end{align}

クーロン力ローレンツ

f=\rho E+j\times B
から,\rho,j,E,Bの成分の変換則と整合するようにすると
(f_x,f_y,f_z)\begin{cases}\overset{x}{\mapsto} (-f_x,f_y,f_z)\\ \overset{t}{\mapsto}(f_x,f_y,f_z)\end{cases}
となる.
時間反転した時には4次元力の時間成分が反転するのだろうと予想される(未計算).

まとめ

微分形式表現

電磁気学の諸量を微分形式で表すと,x軸反転でも時間反転でも同じように変換され,下式で表すことができる:

\begin{align}& \begin{bmatrix}\phi\mathrm{d}t & \mathrm{d}t\wedge\tilde{E} & \mathrm{d}t\wedge\tilde{H} & \mathrm{d}t\wedge\tilde{j} \\ \tilde{A} & \tilde{B} & \tilde{D} & \tilde{\rho}\end{bmatrix} \\
& \overset{x \text{ or } t}{\longmapsto} \begin{bmatrix}\phi\mathrm{d}t & \mathrm{d}t\wedge\tilde{E} & -\mathrm{d}t\wedge\tilde{H} & -\mathrm{d}t\wedge\tilde{j} \\ \tilde{A} & \tilde{B} & -\tilde{D} & -\tilde{\rho}\end{bmatrix}.\end{align}

当然だがy軸でもz軸でも同じで,要するに1軸反転したら上の式の右側の量にマイナスが付く.空間3軸反転でも(-1)^3=-1がかかる訳だから同じ.
各量が右側にあるのか左側に来るのかだけ覚えておく必要があるが,この配置は北野のp.68の電磁界曼荼羅と整合しているのですぐ覚えられると思う.
で,成分の変換則を導出したいなら,各量が微分形式としてどのように表されるか(何次微分形式かとか,\mathrm{d}t,\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}zがどのようにくっついているかとか)を思い出して,反転したいところにマイナスをつければ,成分の変換則が分かる.

行列表現

成分の変換則を行列で表してみる.x軸方向の反転を表す行列として

I_x:=\begin{pmatrix}-1&&0\\&1\\0&&1\end{pmatrix}
を定義する.y反転行列,,z反転行列も同様に定義すると,
I_{xyz}:=I_xI_yI_z=-1
となる.

ポテンシャル

上述の通り

\phi \begin{cases}\overset{x}\mapsto \phi,\\ \overset{t}\mapsto -\phi.\end{cases}

A=(A_x,A_y,A_z)^tについての反転は
A \begin{cases}\overset{x}\mapsto I_xA = (-A_x,A_y,A_z)^t,\\ \overset{xyz}\mapsto  -A,\\ \overset{t}\mapsto A.\end{cases}

E, B, H, D

電場E=(E_x,E_y,E_z)^t電束密度D=(D_x,D_y,D_z)^tは同じ変換則:

E \begin{cases} \overset{x}\mapsto I_xE=(-E_x,E_y,E_z)^t,\\ \overset{xyz}\mapsto -E,\\ \overset{t}\mapsto -E.\\\end{cases}

D \begin{cases} \overset{x}\mapsto I_xD=(-D_x,D_y,D_z)^t,\\ \overset{xyz}\mapsto -D,\\ \overset{t}\mapsto -D.\\\end{cases}

磁場H=(H_x,H_y,H_z)^tと磁束密度B=(B_x,B_y,B_z)^tも同じ変換則:

 H \begin{cases} \overset{x}\mapsto -I_xH=(H_x,-H_y,-H_z)^t,\\ \overset{xyz}\mapsto H,\\ \overset{t}\mapsto H.\\\end{cases}

B \begin{cases} \overset{x}\mapsto -I_xB=(B_x,-B_y,-B_z)^t,\\ \overset{xyz}\mapsto B,\\ \overset{t}\mapsto B.\\\end{cases}

電荷電流密度

上述の通り

\rho \begin{cases}\overset{x}\mapsto \rho,\\ \overset{t}\mapsto -\rho.\end{cases}

j=(j_x,j_y,j_z)^tについての反転は
j \begin{cases}\overset{x}\mapsto I_xj = (-j_x,j_y,j_z)^t,\\ \overset{xyz}\mapsto I_{xyz}j = -j, \\ \overset{t}\mapsto j.\end{cases}

こう書くとjの反転でマイナスがつかないのが不思議に見えるが,電荷電流密度は3次微分形式なので本来3階テンソルで書かなくてはならず,実はホッジスターでベクトルに変換していることに注意.

時間反転の方は最初に書いていた各種文献,たとえば砂川電磁気学のと比べると,全ての量の符号が異なる.つまり全体として電荷が反転されていることになる.*8

成分の変換則をまとめて書くと,

\begin{bmatrix}\phi&E&H&j\\A&B&D&\rho\end{bmatrix} \begin{cases} \overset{x}\mapsto \begin{bmatrix}\phi&I_xE&-I_xH&I_xj\\I_xA&-I_xB&I_xD&\rho\end{bmatrix},\\ \overset{xyz}\mapsto \begin{bmatrix}\phi&-E&H&-j\\-A&B&-D&\rho\end{bmatrix},\\ \overset{t}\mapsto \begin{bmatrix}-\phi&-E&H&j\\A&B&-D&-\rho\end{bmatrix}\end{cases}
だが,x軸反転と時間反転を統一的に書けないので,これは覚えにくい.*9

寝言

ところで,熱力学の文脈で電磁場が存在する場合を考えるときに,E,Hを示強性の量,B,Dを示量性の量として捉えることがあるようなんだが,それと反転における符号の変化とは関連づかないだろうか? たとえば体積は電磁気学では擬形式なので空間3軸反転したらマイナスが付く.これに対して内部エネルギーの式
 \mathrm{d}U=T\mathrm{d}S+P\mathrm{d}V
の体積\mathrm{d}Vも擬形式とみなすことはできないか?

*1:市口はここを符号変化すると言ってるが,その場合はどういう結果になるだろうか?

*2:全部4次元で書いた方がx軸反転も時間反転も統一的に書けて良いのだけど,どっちが分かりやすいのかなあ.以下,H,E,\phiでも同様.

*3:この仮定が最初に挙げた文献たちと違う,この記事の差別化ポイント.相対論的に考えて,x軸反転もt軸反転も同じようなことをしてるので符号の変化の仕方も同じだ,と考えた方が覚えやすいのでこの仮定を置いた.

*4:時間反転のほうが冒頭に挙げた文献とは違う結果になっていることに注意.

*5:このことは未証明だが,\displaystyle \frac{\partial \tilde{\square}}{\partial t} = \frac{\partial\square}{\partial t}\mathrm{d}t \overset{t}{\mapsto} \frac{\partial\square}{\partial(-t)}(-\mathrm{d}t) とでも考えればいいのかな?

*6:j\mathrm{d}jの符号が合ってない気がするが結果には影響しないはずなので気にしない.

*7:\starはつまりホッジスター.テンソル的に言うと完全反対称テンソルが含まれていることがゆがみの理由となる.北野によればこれらが擬テンソルであるからということらしい.体積要素とか面積要素とか長さが負になる(座標系に対して逆向きになる)と理解したらいいのだろうか.

*8:CPT対称性って何?

*9:まあ4次元行列を使えばできなくもないんだけど.