wetchのブログ

他人に見られることを想定していない書き散らかし独習ノート．物理学とかVBAとか．

場の古典論入門：1次元のヒモの運動

解析力学

1次元の場の古典論

参考文献

設定

弾力性を持つヒモが水平に架けられている．
ヒモには重力gと，バネ定数kによる張力が掛かっている．
このヒモの運動方程式を求めたい．

  • 座標系水平方向にx軸をとる．ヒモの鉛直方向の変位をy(x,t)とする．
    • yの微分をy':=\partial y/\partial x, \dot{y}:=\partial y/\partial tと略記する．
  • ヒモの線密度をmとする．*1
  • ヒモのバネ係数はkとする．

計算

ヒモの微小部分\mathrm{d}xにおける運動エネルギーは\frac{1}{2}m\dot{y}^2．
張力によるエネルギーは\frac{1}{2}ky'^2.
重力ポテンシャルエネルギーは-mgy．
よってラグランジアン（密度）は

\displaystyle L(y,y',\dot{y})=\frac{1}{2}m\dot{y}^2 - \frac{1}{2}ky'^2 + mgy.

運動方程式は

\displaystyle \frac{\partial }{\partial t}\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}+\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial L}{\partial y'}=\frac{\delta L}{\delta y}
であり，それぞれの微分を実行すると
\displaystyle \frac{\partial }{\partial t}m\dot{y}-\frac{\partial }{\partial x}ky'=mg,
\therefore m\ddot{y}=ky''+mg.

共変解析力学

考え方その1

空間・時間が(x,t)の2次元であり，変位yは0形式．
変位の微分は

\mathrm{d}y=y'\mathrm{d}x+\dot{y}\mathrm{d}t.（1形式）

そのホッジ双対，ウェッジ積は *2
*\mathrm{d}y=m\dot{y}\mathrm{d}x+ky'\mathrm{d}t,（1形式）
\mathrm{d}y\wedge*\mathrm{d}y=(ky'^2+m\dot{y}^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}t.（2形式）

ラグランジアンLは

\begin{align}L(y,\mathrm{d}y)&= \left(\frac{1}{2}m\dot{y}^2 - \frac{1}{2}ky'^2 + mgy\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}t \\ &=\frac{1}{2}\mathrm{d}y\wedge*\mathrm{d}y+ (mg\mathrm{d}x\mathrm{d}t)\wedge y\end{align}（2形式）

その微分は *3
\displaystyle \frac{\partial L}{\partial \mathrm{d}y}=*\mathrm{d}y,（1形式）
\displaystyle \frac{\partial L}{\partial y}=mg\mathrm{d}x\mathrm{d}t.（2形式）

よって運動方程式は
\begin{align} \mathrm{d}\frac{\partial L}{\partial \mathrm{d}y}&=\frac{\partial L}{\partial y},\\ \mathrm{d}(m\dot{y}\mathrm{d}x+ky'\mathrm{d}t)&=mg\mathrm{d}x\mathrm{d}t,\\ (m\ddot{y}-ky'')\mathrm{d}x\mathrm{d}t&=mg\mathrm{d}x\mathrm{d}t,\\ m\ddot{y}&=ky''+mg.\end{align}

考え方その2

その1では変位を0形式としたが，実は1形式と考えてもいいはず．ただしこの場合は運動量pが0形式の基本変数となる．

以下未完成

これからやりたいこと：

*1:今回はとりあえず定数とするが，xの関数に書き換えることも簡単だろう．kも同様．

*2:なぜ急にm,kが出てくるのかが不明．

*3:これは運動量である．