有限自由度系の共変解析力学 (2)

（続き）違う，違う．1次元多様体じゃないんだ．
菅野の微分形式による解析力学とかを思い出せ．自由度が $N$ だったら時間も含めると配位空間は $N+1$ 次元，相空間は $2N+1$ 次元じゃなかったか．ならこの場合をその次元で考えるのがいいんじゃないのか．

菅野の場合をメモしておこう． $2N+1$ 次元多様体を考える．その座標は $(x^i,v^i,t;i=1,...,N)$ だから，微分形式も $\mathrm{d}x^i,\mathrm{d}v^i,\mathrm{d}t$ の組み合わせで表される．慣性モーメント $m_{ij}$ の剛体系を考え，ポテンシャルの部分には電磁ポテンシャルを（深く考えず）代入することにして，ラグランジアンを通常の書き方で書くと

$L(x,v,t)=\frac{1}{2}m_{ij}v^iv^j+e\left(v^iA_i(x,t)-\phi(x,t)\right)$ である．これを1形式に直すと $\begin{align}L&=\frac{\partial L}{\partial v^i}\mathrm{d}x^i-\left(v^i\frac{\partial L}{\partial v^i}-L\right)\\&=(m_{ij}v_j+eA_i)\mathrm{d}x^i-\left(\frac{1}{2}m_{ij}v^iv^j+e\phi\right)\mathrm{d}t.\end{align}$ *1 これを微分したものは $\begin{align}\mathrm{d}L&=\theta_i\wedge\rho^i,\\\theta_i&:=m_{ij}\mathrm{d}v^j+e\frac{\partial A_i}{\partial x^j}\mathrm{d}x^j-e\left(v^j\frac{\partial A_j}{\partial x^i}-\frac{\partial A_i}{\partial t}-\frac{\partial \phi}{\partial x^i}\right)\mathrm{d}t,\\\rho^i&:=\mathrm{d}x^i-v^i\mathrm{d}t.\end{align}$ で運動方程式は $\mathrm{d}L=0$ または等価な表現として $\theta_i=0$ かつ $\rho^i=0$ がすべての $i=1,...,N$ についてandで成り立つこと．*2

全然考えがまとまらないけど，共変解析力学では（質点系だと）ハミルトニアンは1形式なのに運動量は0形式なのが不思議だ．中嶋*3にもポアソン括弧まわりがまだ不明と書いてあったけどこういうことなのかな？

*1:この時点で右辺第2項にハミルトニアン1形式が出てきてるんだから，右辺第1項を運動量1形式とみなせたらいいのに．

*2: $\theta_i=0$ に $\rho^i=0$ を代入すれば

$\begin{align}0&=m_{ij}\mathrm{d}v^j+e\frac{\partial A_i}{\partial x^j}v^j\mathrm{d}t-e\left(v^j\frac{\partial A_j}{\partial x^i}-\frac{\partial A_i}{\partial t}-\frac{\partial \phi}{\partial x^i}\right)\mathrm{d}t\\&=m_{ij}\mathrm{d}v^j-e\left(-\frac{\partial A_i}{\partial x^j}v^j+v^j\frac{\partial A_j}{\partial x^i}-\frac{\partial A_i}{\partial t}-\frac{\partial \phi}{\partial x^i}\right)\mathrm{d}t\\&=m_{ij}\mathrm{d}v^j-e\left(v^jB_{ij}+E_i\right)\mathrm{d}t\end{align}$ となってちゃんと運動方程式の出ることが検算できた．

*3:http://physnakajima.html.xdomain.jp/CAM_rev.pdfの§J.5

wetchのブログ

他人に見られることを想定していない書き散らかし独習ノート．物理学とかVBAとか．

有限自由度系の共変解析力学 (2)