ポートフォリオ理論の勉強中

新NISAも始まったし，こういうこともやっていったほうがいいかもね．

参考文献
単一のデータのモデリング
2つのデータの相関
ポートフォリオ

参考文献

単一のデータのモデリング

実例が何かほしいので，みんな大好きS&P500を例にしよう．基準価額を $S(t)$ とする．

ｅＭＡＸＩＳＳｌｉｍ米国株式（Ｓ＆Ｐ５００） | eMAXIS（イーマクシス）

グラフの概形が指数関数っぽいことも考慮しつつ，前日からの変化率

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}S}{S} := \frac{S(t_{i+1})-S(t_i)}{S(t_i)}$ を計算．*1
そして時系列グラフとヒストグラムを書いてみる．

ヒストグラムが正規分布っぽくなったのでこれはガウス過程であると近似． $\mathrm{d}S$ は次の平均と分散を持つ正規分布に従うとモデル化する： $\mathrm{d}S \sim N(\mu S \mathrm{d}t, \sigma^2 S^2 \mathrm{d}t).$ ここで $\mu,\sigma$ は定数．同じことだが $\begin{align}\mathcal{E}\{\mathrm{d}S\} &= \mu S \mathrm{d}t, \\ \mathcal{E}\{(\mathrm{d}S - \mu S \mathrm{d}t)^2 \} &= \sigma^2 S^2 \mathrm{d}t.\end{align} \tag{1}$
$\mathrm{d}t$ の入り方が唐突かつ不可解だが，これを幾何ブラウン過程という，らしい．

エクセルで実際に計算すると（ただし時間 $t$ は年を単位とする），

$\begin{align} \mu_\text{S&P} &= \operatorname{AVERAGE}\left(\frac{S_{i+1}-S_i}{S_i(t_{i+1}-t_i)}\right) = 0.28898616 /年,\\ \sigma_\text{S&P}^2 &= \operatorname{COVARIANCE.S}\left(\left(\frac{S_{i+1}-S_i}{S_i\sqrt{t_{i+1}-t_i}}\right)^2\right) = 0.06202991 /年.\end{align}$

2つのデータの相関

もうひとつ，先進国債権の基準価額も引っ張ってきた．

ｅＭＡＸＩＳＳｌｉｍ先進国債券インデックス | eMAXIS（イーマクシス）
こちらも同様にモデル化してパラメータを計算すると， $\begin{align}\mu_\text{bond} &= 0.104085837 /年,\\ \sigma_\text{bond}^2 &= 0.006067714 /年.\end{align}$

複数の確率変数がある場合に忘れちゃいけないのはその相関，または共分散だ．S&P500と先進国債権の2つのデータから共分散を計算する．

$\begin{align}\sigma_\text{S&P,bond} &= \operatorname{COVARIANCE.S}\left(\frac{S^\text{S&P}_{i+1}-S^\text{S&P}_i}{S^\text{S&P}_i\sqrt{t_{i+1}-t_i}} \cdot \frac{S^\text{bond}_{i+1}-S^\text{bond}_i}{S^\text{bond}_i\sqrt{t_{i+1}-t_i}}\right) \\ &= 0.007219366 /年.\end{align}$ （相関係数 0.372122504）

ポートフォリオ

この2つの投信を組み合わせてポートフォリオ $P$ を作ったとき，２つまとめての $\mu_P$ と $\sigma_P$ はどう計算できるだろうか．
S&Pを $y_\text{S&P}$ 円，債権を $y_\text{bond}$ 円買ったとしよう．口数はそれぞれの基準価額 $S$ で割って $y/S$ で求められるから，

$\displaystyle P = y_\text{S&P} +y_\text{bond} = \frac{y_\text{S&P}}{S_\text{S&P}}S_\text{S&P} + \frac{y_\text{bond}}{S_\text{bond}}S_\text{bond}.$
その微分は $\displaystyle \mathrm{d}P = \frac{y_\text{S&P}}{S_\text{S&P}}\mathrm{d}S_\text{S&P} + \frac{y_\text{bond}}{S_\text{bond}}\mathrm{d}S_\text{bond}.$
式(1)よりまず平均は $\mathcal{E}\{\mathrm{d}P\} = (y_\text{S&P} \mu_\text{S&P} +y_\text{bond}\mu_\text{bond} ) \mathrm{d}t,$ で，分散は行列で表すと*2 $\begin{align}&\mathcal{E}\{(\mathrm{d}P-\mathcal{E}\{\mathrm{d}P\})^2\} \\ &= \begin{pmatrix}y_\text{S&P} & y_\text{bond}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\sigma_\text{S&P}^2 & \sigma_\text{S&P,bond} \\ \sigma_\text{S&P,bond} & \sigma_\text{bond}^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_\text{S&P} \\ y_\text{bond}\end{pmatrix} \mathrm{d}t. \end{align}$
式(1)に似た形に整えると， $\begin{align}\mathrm{d}P &\sim N(\mu_P P \mathrm{d}t, \sigma_P^2 P^2 \mathrm{d}t), \\ \mu_P &= \mu_\text{S&P} \frac{y_\text{S&P}}{P} + \mu_\text{bond}\frac{y_\text{bond}}{P},\\ \sigma_P^2 &= \begin{pmatrix}\frac{y_\text{S&P}}{P} & \frac{y_\text{bond}}{P} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\sigma_\text{S&P}^2 & \sigma_\text{S&P,bond} \\ \sigma_\text{S&P,bond} & \sigma_\text{bond}^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_\text{S&P}/P \\ y_\text{bond}/P \end{pmatrix}. \end{align}$
ただし， $y_\text{S&P}/P, y_\text{bond}/P$ はポートフォリオ $P$ 内のS&P, 債権それぞれの割合（金額比）であって定数ではないことに注意．

$\sigma_P^2$ が $y_\text{S&P}, y_\text{S&P}$ の2次式であるため，自明ではないことに，共分散行列の係数によっては（とくに相関が負の場合）， $\sigma_P < \sigma_\text{S&P}, \sigma_\text{bond}$ にもなり得る．