「投資先は自分に理解できるビジネスに限るべき」なんて言葉があるそうだけど,まさか皆インデックスファンドの仕組みを完全に理解してるの?
という疑問があったのでちょちょっとググったものをメモ.
この記事を見ても完全に理解したとは言えないし,皆知らないままやってるってことでいいんだよね...?
「投資先は自分に理解できるビジネスに限るべき」なんて言葉があるそうだけど,まさか皆インデックスファンドの仕組みを完全に理解してるの?
という疑問があったのでちょちょっとググったものをメモ.
この記事を見ても完全に理解したとは言えないし,皆知らないままやってるってことでいいんだよね...?
新NISAも始まったし,こういうこともやっていったほうがいいかもね.
実例が何かほしいので,みんな大好きS&P500を例にしよう.基準価額を とする.
グラフの概形が指数関数っぽいことも考慮しつつ,前日からの変化率
エクセルで実際に計算すると(ただし時間 は年を単位とする),
もうひとつ,先進国債権の基準価額も引っ張ってきた.
複数の確率変数がある場合に忘れちゃいけないのはその相関,または共分散だ.S&P500と先進国債権の2つのデータから共分散を計算する.
これのイラスト化を考えてみたのだけど,rhidetoのblogに載ってる下の絵が一番分かりやすかった.
まず とそれらをつなぐ写像 がある.
は単射でないから となる もあり得るし,全射でないからどこからも矢印が飛んでこない も存在し得る.
全射じゃない部分は無視( の部分だけを考慮)して,単射じゃない分は の元を類別する( を考える)ことで解消できる.
そんなふうに を構成すると,この絵のように1対1対応がつけられる.
準同型定理のことを第1同型定理と呼ぶことも多いようだけど,ここでは参考文献に倣ってそれとは異なる定理を挙げる.
これは準同型定理において, の元を類別して(あるいは膨らませて)正規部分群による剰余群 に置き換えるイメージ.
まず と がこんな感じであって:
に対応する がこうなってて:
を でそれぞれ割って とすれば,この2つには1対1対応が付けられる.
第1同型定理は群 と別の群 のお話だったが,第2,第3同型定理では が出てこなくて,全部 の中が舞台になっている.これはさっきまで として考えていたところを,同型性を利用して の中に埋め込んでいる*1と考えることができる.
先に第3の方を説明しよう.第1同型定理を使うと第2より説明しやすい.
を絵にしてとりあえず定理を絵にするとこんな感じか.
証明は準同型定理において とおくみたいな感じだが,第1同型定理からの導出のイメージとしては,まず第1同型定理の を に, を に, を に書き換えて,
で, を の中に埋め込むといった感じ.
イラスト化にあたっては と をどう表すかというのが肝だろうと思う.検索すると下図のような感じの図がよくヒットする.
で,この絵から を考えると,
と,こんな感じになって同型になっていることが分かる.あとは第3同型定理のときと同様にして を の中に埋め込む.
準同型定理の本質というか,代数構造を省いたら結局こういうことらしい.
こんなことしてたって量子力学の理解にはなにひとつつながらないというのに...
2次方程式(赤線)
2次方程式(1)に級数式(2)を代入し,のべきで整理してみると,
係数の付き方が複雑だが,実は等比数列的な構造があり,
とは言っても漸化式(4)や(5)の一般項は出せないし,式(2), (6)に代入したら本当に
参考文献
量子力学で c数とかq数っていうのを聞くが,これって他にも種類があったんだ...というのを文献で知ったのでメモを置いておく.
まあ他の種類がどのくらい広く使われてるのかは知らんけど.
できるだけ本に書いてある通りに書き写してみる.
性質
対称行列を見ると対角化したくなる病気.
電磁場のイラストレートを企てているが,クーロン力やローレンツ力がうまく書けない.
これらに関係するマクスウェル応力テンソルが対称行列なので微分形式で書けるものでないからというのもあるし.
その辺,よく考えようとしたところ,そもそもマクスウェル応力の構造をよく理解してないことに気付いた.
とりあえず対称行列の構造は対角化して主方向を調べたら分かりそうなんだが,文献とかググったりして調べてもよく分からないので計算してみた.
検算しよう.
2個目,3個目は
これで終わってもいいのだが,ちょっと見栄えを良くしておこう.まず,のプラスの方を使ってとおくと,2本目の固有ベクトルは
典型的には,方向にだから引っ張り力がはたらき,それに垂直な方向にだから圧縮力がはたらく.
が鋭角をなしているとき,方向は方向に近く,絵で描くとこんな感じか.
4次元の電磁テンソルを
を用いると
1, 2個目は式(1.2)が2つに分裂して,*4
で,まず式(1.2)に対応するものとして
3次元の時の結果の式(1.2)より
∵(3個目と4個目について)
同様に,式(1.3)の拡張になってると予想してみると,固有ベクトルがに直交しているのが功を奏して計算が楽になり,最終的に上式が出てくる.
ただしの中のにはマイナスが付いているので,式(1.3)のに対しては入れ替わっているのに注意.■
どんな様子になってるのか,正直全然分からん.
になったので,実は2重縮退が2セットあり,4次元時空内に引っ張り力のはたらく平面と,圧縮力のはたらく平面が直交している,という様子になっているようだ.
3次元の時の式(1.2), (1.3)の固有値・固有ベクトルをの関数とみなし,とを入れ替える操作を考えてみると,不変になる:
これは思い付きだが,逆にの詳細な構造(1.1)とはあまり関係なく,固有値固有ベクトルがとの入れ替えに対して不変,という条件だけで式(1.2), (1.3)は半分くらい導けたりして? *7
派生する問題として,マクスウェル応力の固有値と固有ベクトルのみが与えられているとき,電場磁場はどこまで復元できるだろうか?
と言っても,がとの入れ替えについて,またと,との入れ替えについて不変だからそこの違いは無視しないといけない.
また,とする.
結果,を任意, として,
自由度が1個残るとは意外だ.ということは試験電荷とかを用いて電磁的な力が測定できても,電場磁場は一意に定められない...ということか.本当か?
*1:ランダウリフシッツ抜粋
- p.70: ある系でなら,ローレンツ変換してまたはとなるような系が見出せる. 逆も言える.
- p.71: と は不変量である.ここでは電磁テンソル.
- pp.71-72: 速度を方向にとってローレンツ変換すれば,EとHが平行になるような系を常に見出せる.(ただしかつである場合を除く)
- pp.92-93: 上2つの変換によって応力テンソルは対角形になる.x軸を場の方向にとれば
- p.93: かつである場合,対角化するとx軸をE方向に,y軸をH方向にとるとのみが非ゼロ.
*2:固有ベクトルは適当にスケーリングしてもよいので,暗黙の内に正規化されているとみなし,次元も無次元とする.
*3:Wikipediaにはのみの場合,固有値・固有ベクトルは
とか書いてあるが,この固有ベクトルの書き方はいただけない.要は方向が1つ,それに直角な方向が2つ(縮退)と言いたいだけなのに,余計な情報がくっついている.
*6:ランダウリフシッツp.306には固有値のうち一組は0になるとか書いてあるが,どう関係するのか?
*7:たとえば,をに依存する未知係数として,
*8:はただのスカラー定数ではなく,必ずレビチビタとセットで現れ,擬量の空間と非擬量の空間を渡るためのものなのだと思う.
*9:本来だから係数2の帳尻を合わせなければならないが,省略.