wetchのブログ

他人に見られることを想定していない書き散らかし独習ノート．物理学とかVBAとか．

2変数ブール関数の双対変換の群

物理学・数学

そもそもの疑問

NANDとかXORとか，ブール関数ってあるじゃないですか．
そういうのって，ANDとORが双対関係にあるとか考えたりしますけど，他に双対ってないんですかね？

2変数ブール関数の集合

1:=true=真, 0:=false=偽 としておく．

2変数ブール関数の集合

\mathcal{B}^{\{0,1\}^2} :=\{f:\{0,1\}^2\to\{0,1\},(x,y)\mapsto f(x,y)\}
の元 f を，4つ組で f=[f(0,0),f(0,1),f(1,0),f(1,1)]と書く*1．これは16個あるので，全部書き出しておくと，
\begin{align} \text{TRUE}&=[1,1,1,1], &\text{FALSE}&=[0,0,0,0],\\ X&=[0,0,1,1], &\neg X&=[1,1,0,0],\\ Y&=[0,1,0,1], &\neg Y&=[1,0,1,0],\\ \text{AND}&=[0,0,0,1], &\text{NAND}&=[1,1,1,0],\\ \text{OR}&=[0,1,1,1], &\text{NOR}&=[1,0,0,0],\\ \text{XOR}&=[0,1,1,0], &\text{XNOR}&=[1,0,0,1],\\ \text{IMPLY}&=[1,1,0,1], &\text{NIMPLY}&=[0,0,1,0],\\ \text{REVERSE}&=[1,0,1,1], &\neg X\text{ AND }Y&=[0,1,0,0].\end{align}

双対変換の群

\mathcal{B}^{\{0,1\}^2} に作用する変換のうち，対合（2回作用させると元に戻る変換）には以下のようなものがある（後述するように，これらは独立ではない）：

  • xの否定
    I_xf(x,y):=f(\neg x,y)
  • yの否定
    I_yf(x,y):=f(x,\neg y)
  • 両引数の否定
    I_xI_yf(x,y):=f(\neg x,\neg y)
  • 出力の否定
    Nf(x,y):=\neg f(x,y)
  • ド・モルガン双対：これはブール代数の方でANDとOR，および0と1を入れ替える双対とも呼ばれる．
    Df(x,y):=\neg f(\neg x,\neg y)
  • 変数の入れ替え
    Sf(x,y):=f(y,x)

性質：

  • I_x^2=I_y^2=N^2=D^2=S^2=\mathrm{id}（id は恒等変換）
  • I_xI_y=I_yI_x,
  • N は他の D,S,I_x,I_y と可換
  • SI_x=I_yS（=:R とおく．）
  • D = N I_x I_y
  • k\in\mathbb{Z} に対し，R^kS=SR^{-k}.
    \begin{align}\because\quad R:=SI_x \quad&\Rightarrow\quad (SR)^2=(S^2I_x)^2=\mathrm{id}\\ &\Leftrightarrow\quad SRS=R^{-1}\\ &\Rightarrow\quad SR^kS=(SRS)^k=R^{-k}\\ &\Leftrightarrow\quad R^kS=SR^{-k}.\end{align}

で，

I_x=S^{-1}R,\quad I_y=RS^{-1},\quad D=NR^2
と書けるので，結局，これらの変換は S,R,N の3つを生成元とする群で表せる（この群の元がすべて対合という訳ではない）．

実は S,R の組み合わせは正方形群（または二面体群）D_4 となり，N も加わると D_4\times\mathbb{Z}_2 という群になる．すなわち

D_4\times\mathbb{Z}_2\curvearrowright B^{\{0,1\}^2}.

D_4 の方については，引数 (x,y) を正方形の4つの頂点に対応させ，Sを対角線についての反転，Rを\pi/2回転とすることで解釈できる．

軌道

S,R,N による各ブール関数の行き先によって4つに分類できる：

  • \text{TRUE, FALSE}: どちらもS,Rで不変．Nで互いに移り変わる．
  • \text{XOR, XNOR}: どちらもSで不変．R,Nで互いに移り変わる．
  • X,Y,\neg X,\neg Y: Rによって4つが順繰りに移り変わる．S,Nでは2つのペアで移り変わる．
  • 残り8つ: AND, OR, NAND, NOR, IMPLY, REVERSE, NIMPLY, \neg X\text{ AND }Y はS,R,Nの作用の組み合わせで互いに移り変わる。

行列表現

さっきは2変数ブール関数 f \in \mathcal{B}^{\{0,1\}^2} を f=[f(0,0),f(0,1),f(1,0),f(1,1)] と4次元ベクトル表記したが，行列表現しようと思ったら5次元が必要．

\tilde{f}=[f(0,0),f(0,1),f(1,0),f(1,1),1]
とする．
すると，D_4\times\mathbb{Z}_2 の元は
\begin{align} S&=\begin{bmatrix}1&0&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0 \\ 0&1&0&0&0 \\ 0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&1\end{bmatrix},& R&=\begin{bmatrix}0&0&1&0&0 \\ 1&0&0&0&0 \\ 0&0&0&1&0 \\ 0&1&0&0&0 \\ 0&0&0&0&1\end{bmatrix},\\ N&=\begin{bmatrix}-1&0&0&0&1 \\ 0&-1&0&0&1 \\ 0&0&-1&0&1 \\ 0&0&0&-1&1 \\ 0&0&0&0&1\end{bmatrix}\end{align}
で行列表現できる．

Copilotによる謎定義

この D_4\times\mathbb{Z}_2 を特徴づけると以下のようになるらしい．
よく分かってないまま書き写しておく．

定義（2変数ブール式上の D_4\times\mathbb{Z}_2）
変数 𝑥,𝑦，定数 0, 1，論理記号 \land,\lor,\neg から作られる全てのブール式を考える．

その上の写像 𝑇 のうち，2つのデータ

  • \epsilon \in \{0,1\}：式全体を最後にひっくり返すかどうか（0=そのまま, 1=全体否定）．
  • \sigma：\{𝑥,\neg 𝑥,𝑦,\neg 𝑦\} の置換で，𝑝\in\{𝑥,𝑦\} に対し \sigma(\neg 𝑝)=\neg\sigma(𝑝)（つまり否定ペアの構造は壊さない）を満たす．

によって定まり，すべての式 \phi について

𝑇_{\epsilon,\sigma}(\phi)=\begin{cases}\sigma(\phi),&(\epsilon=0),\\ \neg\sigma(\phi),&(\epsilon=1)\end{cases}
と書けるものを考える．

このとき，取り得る 2 通りの \epsilon と 8 通りの \sigma，合わせて 16 個の変換全体の群が D_4\times\mathbb{Z}_2 である．

*1:要は行列表現

クリフォード代数でスピノル

物理学・数学

クリフォード代数でスピノル.PDF

昨年の末ぐらいから調べていた割には全然まとまらないのだが，これ以上進む気もしないのでアップしてみる．
ただし，資料の中にも書いてあることだが，ちゃんとした文献ではなくCopilotとの対話で作ったものなので信憑性は一切ない．

エクセルでテンソル計算するためのTips

VBA

出典はYahoo知恵袋かどこかだと思うのだけど，記憶が曖昧．

テンソルの縮約

例として，テンソル A_{ijk} の添え字を計量 g^{ij} を使って上げる計算を，ワークシート関数で行いたいとする．
もちろん A(i,j,k) や g(i,j) は別途名前定義されているとする．

1変数

{A^i}_{jk}=g^{il}A_{ljk}

=LAMBDA(i,j,k, SUM(MAP(SEQUENCE(3), LAMBDA(l, g(i,l) * A(l,j,k))))

2変数

{A^{ij}}_k=g^{il} g^{jm} A_{lmk}

=LAMBDA(i,j,k, 
 SUM(MAP(SEQUENCE(3), LAMBDA(l,
 SUM(MAP(SEQUENCE(3), LAMBDA(m,
   g(i,l) * g(j,m) * A(l,m,k)
 ))))))

3変数

A^{ijk}=g^{il} g^{jm} g^{kn} A_{lmn}

=LAMBDA(i,j,k,
 SUM(MAP(SEQUENCE(3), LAMBDA(l,
 SUM(MAP(SEQUENCE(3), LAMBDA(m,
 SUM(MAP(SEQUENCE(3), LAMBDA(n,
   g(i,l) * g(j,m) * g(k,n) * A(l,m,n)
 )))))))))

動機

3階の完全反対称テンソルの積が

\displaystyle \epsilon_{ijk} \epsilon^{jkl} \equiv\epsilon_{ijk}g^{jp}g^{kq}g^{rl}\epsilon_{pqr} =2(\det{g})\delta_i^l
になることをエクセルで検算したかった．これは

=LAMBDA(i,l,
 SUM(MAP(SEQUENCE(3), LAMBDA(j,
 SUM(MAP(SEQUENCE(3), LAMBDA(k,
 SUM(MAP(SEQUENCE(3), LAMBDA(p,
 SUM(MAP(SEQUENCE(3), LAMBDA(q,
 SUM(MAP(SEQUENCE(3), LAMBDA(r,
 Epsilon(i,j,k) * g(j,p) * g(k,q) * g(r,l) * Epsilon(p,q,r)
)))))))))))))))

で計算できる．

テンソルを使わない相対論・電磁気学

電磁気学 物理学・数学 相対論

2025年夏の成果．

この記事の注意

符号がややこしいので，計算を間違ってる可能性大．
雰囲気で，何となくうまくいくように解釈すること．

文献調査

やりたいこと

上記の文献は普通のテンソル表記じゃなくて変わった代数式で表してるのは面白い．
ただ、書き方がそろってないので統一する作業を通じて理解を深めたい．

．．．と思ったのだが，思考は思わぬ方向へ進み，四元数や双四元数よりもちょっと広い代数系で考えるハメになった．

基底 \hat{\gamma} について

唐突に，\hat{\gamma}_\mu,\ (\mu=0,1,2,3) を

\hat{\gamma}_\mu\hat{\gamma}_\nu=\begin{cases}1,&(\mu=\nu=0)\\-1,&(\mu=\nu=1,2,3)\\-\hat{\gamma}_\nu\hat{\gamma}_\mu,&(\mu\neq\nu)\end{cases}
を満たす数とする．

具体的にはガンマ行列で，たとえば4×4複素行列表現で

\begin{align}\hat{\gamma}_0&=\begin{bmatrix}1\\&1\\&&-1\\&&&-1\end{bmatrix},& \hat{\gamma}_1&=\begin{bmatrix}&&&1\\&&1\\&-1\\-1\end{bmatrix},\\ \hat{\gamma}_2&=\begin{bmatrix}&&&-i\\&&i\\&i\\-i\end{bmatrix},& \hat{\gamma}_3&=\begin{bmatrix}&&1\\&&&-1\\-1\\&1\end{bmatrix}\end{align}
と書ける（が，あまり行列であることを意識しないほうがいいっぽい）．

また，その積を

\begin{align}\hat{\gamma}_{\mu\nu}&:=\hat{\gamma}_\mu\hat{\gamma}_\nu,\\ \hat{\gamma}_{\mu\nu\rho}&:=\hat{\gamma}_\mu\hat{\gamma}_\nu\hat{\gamma}_\rho,\\ \hat{\gamma}_{\mu\nu\rho\sigma}&:=\hat{\gamma}_\mu\hat{\gamma}_\nu\hat{\gamma}_\rho\hat{\gamma}_\sigma\end{align}
などと略記する．*2*3

性質：

  • \hat{\gamma}_\mu,\hat{\gamma}_{\mu\nu},\hat{\gamma}_{\mu\nu\rho},\hat{\gamma}_{0123} および単位行列 1（合計16個の数）は（実数係数での和を考えるとき）線形独立であり，16次元実線形空間の基底を成している．*4
  • 各基底の2乗は ±1 となる．これは以降の式変形で（明示はしないが）多用する．
    • 2乗が +1 になるやつ
      {\hat{\gamma}_0}^2={\hat{\gamma}_{01}}^2={\hat{\gamma}_{02}}^2={\hat{\gamma}_{03}}^2={\hat{\gamma}_{123}}^2=1
    • 2乗が -1 になるやつ
      \begin{align}{\hat{\gamma}_1}^2&={\hat{\gamma}_2}^2={\hat{\gamma}_3}^2={\hat{\gamma}_{23}}^2={\hat{\gamma}_{31}}^2={\hat{\gamma}_{12}}^2\\&={\hat{\gamma}_{023}}^2={\hat{\gamma}_{031}}^2={\hat{\gamma}_{012}}^2={\hat{\gamma}_{0123}}^2=-1\end{align}

ミンコフスキー空間

ベクトル x^\mu と

x:=x^\mu\hat{\gamma}_\mu\equiv x^0\hat{\gamma}_0+x^1\hat{\gamma}_1+x^2\hat{\gamma}_2+x^3\hat{\gamma}_3 \tag{3}
とを対応付ける．

積

2つのベクトル x,y の積を計算してみると，（\mu=2,3 の項は省略して）

\begin{align}xy&=(x^0\hat{\gamma}_0+x^1\hat{\gamma}_1+\cdots)(y^0\hat{\gamma}_0+y^1\hat{\gamma}_1+\cdots)\\&=x^0y^0{\hat{\gamma}_0}^2+x^1y^1{\hat{\gamma}_1}^2+x^0y^1\hat{\gamma}_{01}+x^1y^0\hat{\gamma}_{10}+\cdots\\&=x^0y^0-x^1y^1 +(x^0y^1-x^1y^0)\hat{\gamma}_{01}+\cdots,\\\\ yx&=x^0y^0-x^1y^1 -(x^0y^1-x^1y^0)\hat{\gamma}_{01}+\cdots\end{align}
であり，ドット積
\begin{align}x\cdot y:=&(xy+yx)/2\\=&x^0y^0-x^1y^1-x^2y^2-x^3y^3\end{align}
とくさび積
\begin{align}x\wedge y:=&(xy-yx)/2\\=&(x^0y^1-x^1y^0)\hat{\gamma}_{01}+(x^0y^2-x^2y^0)\hat{\gamma}_{02}+(x^0y^3-x^3y^0)\hat{\gamma}_{03}\\&+(x^2y^3-x^3y^2)\hat{\gamma}_{23}+(x^3y^1-x^1y^3)\hat{\gamma}_{31}+(x^1y^2-x^2y^1)\hat{\gamma}_{12}\end{align}
より，いわゆる内積と外積が計算できる．

3次元空間回転

\theta を回転角として，

\begin{align}R&:=\cos\frac{\theta}{2}+\sin\frac{\theta}{2}\hat{\gamma}_{23},\\ R^{-1}&:=\cos\frac{\theta}{2}-\sin\frac{\theta}{2}\hat{\gamma}_{23}\end{align}\tag{4}
とする．積 RR^{-1}=\cos^2\frac{\theta}{2}+\sin^2\frac{\theta}{2}=1 なので R^{-1} は R の逆元である．

x の前後にこれらをかけてみると

\begin{align}x':=&RxR^{-1}\\=&\left(\cos\frac{\theta}{2}+\sin\frac{\theta}{2}\hat{\gamma}_{23}\right)(x^0\hat{\gamma}_0+x^1\hat{\gamma}_1+x^2\hat{\gamma}_2+x^3\hat{\gamma}_3)\left(\cos\frac{\theta}{2}-\sin\frac{\theta}{2}\hat{\gamma}_{23}\right)\\=&x^0\hat{\gamma}_0+x^1\hat{\gamma}_1+(x^2\cos\theta-x^3\sin\theta)\hat{\gamma}_2+(x^2\sin\theta+x^3\cos\theta)\hat{\gamma}_3\end{align}
となるが，これは3次元空間で x^2x^3 平面内に \theta 回転したベクトル
x'^\mu=\begin{bmatrix}x^0\\x^1\\x^2\cos\theta-x^2\sin\theta\\x^2\sin\theta+x^3\cos\theta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\&1\\&&\cos\theta&-\sin\theta\\&&\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x^0\\x^1\\x^2\\x^3\end{bmatrix}
と対応している．つまり R が回転を表しているということ．

ローレンツブースト

\eta をラピディティとして

\begin{align}B&:=\cosh\frac{\eta}{2}-\sinh\frac{\eta}{2}\hat{\gamma}_{01},\\ B^{-1}&:=\cosh\frac{\eta}{2}+\sinh\frac{\eta}{2}\hat{\gamma}_{01}\end{align}\tag{5}
とする．BB^{-1}=\cosh^2\frac{\eta}{2}-\sinh^2\frac{\eta}{2}=1 なので B^{-1} は B の逆元．

で，同様に x の前後からかけてみると，

\begin{align}x':=&BxB^{-1}\\=&\left(\cosh\frac{\eta}{2}-\sinh\frac{\eta}{2}\hat{\gamma}_{01}\right)(x^0\hat{\gamma}_0+x^1\hat{\gamma}_1+x^2\hat{\gamma}_2+x^3\hat{\gamma}_3)\left(\cosh\frac{\eta}{2}+\sinh\frac{\eta}{2}\hat{\gamma}_{01}\right)\\=&(x^0\cosh\eta+x^1\sinh\eta)\hat{\gamma}_0+(x^0\sinh\eta+x^1\cosh\eta)\hat{\gamma}_1+x^2\hat{\gamma}_2+x^3\hat{\gamma}_3\end{align}
となり，これは x^1 方向にローレンツブーストしたベクトル
x'^\mu=\begin{bmatrix}x^0\cosh\eta+x^1\sinh\eta\\x^0\sinh\eta+x^1\cosh\eta\\x^2\\x^3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cosh\eta&\sinh\eta\\\sinh\eta&\cosh\eta\\&&1\\&&&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x^0\\x^1\\x^2\\x^3\end{bmatrix}
と対応しているので，B がローレンツブーストを表していることが分かる．

一般のミンコフスキー空間の回転（複数の回転とローレンツブーストの組み合わせ）もこういう R,B のようなものを各方向ごとに作って前後から順次掛けていけば表すことができる．

四元数との関係

一般の3次元回転は式(4)から類推するに \{1,\hat{\gamma}_{23},\hat{\gamma}_{31},\hat{\gamma}_{12}\} を掛けたものの線形和で表されると考えられるが，実はこれが四元数になっている．\hat{\gamma}_{23},\hat{\gamma}_{31},\hat{\gamma}_{12} が四元数としての虚数単位．

双四元数との関係

一般の方向へのローレンツブーストは式(5)から類推するに \{1, \hat{\gamma}_{01}, \hat{\gamma}_{02}, \hat{\gamma}_{03}\} の線形和をいくつか掛けたものになるとわかる．
ということは，4次元ミンコフスキー空間の回転は3次元回転とこれらを全部掛け合わせて \{1,\hat{\gamma}_{\mu\nu}, \hat{\gamma}_{0123}\} という8つの基底の線形和で表されることになる．
これが双四元数と同型であり，\hat{\gamma}_{0123} が複素数としての虚数単位，すなわち四元数としての虚数単位 \hat{\gamma}_{23},\hat{\gamma}_{31},\hat{\gamma}_{12} と独立（可換）な虚数単位と解釈される．
式(2)と対応させると，

i_1=\hat{\gamma}_{23},\quad i_2=\hat{\gamma}_{31},\quad i_3=\hat{\gamma}_{12}\quad h=\hat{\gamma}_{0123}
ということ．

電磁気学

電磁ポテンシャルベクトルが式(3)のように*5

A:=-\phi\hat{\gamma}_0+A_k\hat{\gamma}_k
と書けると仮定しよう．

また、\nabla に対応する微分作用素もベクトルなので，

\displaystyle \partial:=\hat{\gamma}_0\partial_0+\hat{\gamma}_k\partial_k
と書こう．

電場・磁束密度の計算

このポテンシャル A をくさび積で微分すると電場 E, 磁束密度 B になる．*6

\begin{align}F:=\partial\wedge A =& -E_k\hat{\gamma}_{0k} +\epsilon_{jkl}B_j\hat{\gamma}_{kl}.\end{align} \tag{6}

∵
\begin{align}\partial A =&(\hat{\gamma}_0\partial_0+\hat{\gamma}_j\partial_j)(-\phi\hat{\gamma}_0+A_k\hat{\gamma}_k)\\ =&-\partial_0\phi -\partial_kA_k +(\partial_k\phi+\partial_0A_k)\hat{\gamma}_{0k} +(\partial_jA_k-\partial_kA_j)\hat{\gamma}_{jk}\\ =&-\partial_0\phi -\operatorname{div}A +( (\operatorname{grad}\phi)_k +\partial_0A_k)\hat{\gamma}_{0k} +\epsilon_{jkl}(\operatorname{rot}A)_l\hat{\gamma}_{jk},\end{align}

ただし \epsilon_{jkl} はエディントンエプシロン．
ここに \phi,A と E,B の関係式を使うと
\partial A=-\partial_0\phi -\operatorname{div}A -E_k\hat{\gamma}_{0k} +\epsilon_{jkl}B_j\hat{\gamma}_{kl}
と計算される．

一方，

\begin{align}A\partial =&(-\phi\hat{\gamma}_0+A_k\hat{\gamma}_k)(\hat{\gamma}_0\partial_0+\hat{\gamma}_j\partial_j)\\ =&-\partial_0\phi -\operatorname{div}A +E_k\hat{\gamma}_{01} -\epsilon_{jkl}(\operatorname{rot}B)_j\hat{\gamma}_kl\end{align}
である．ただし，計算途中で偏微分 \partial_\mu はスカラー \phi,A_k にかかるものとして順序は入れ替えている．*7

よって，

\begin{align}\partial\wedge A \equiv&\partial A-A\partial\\ =& -E_k\hat{\gamma}_{0k} +\epsilon_{jkl}B_j\hat{\gamma}_{kl}.\blacksquare\end{align}

ちなみにドット積をとってみると

\partial\cdot A=-\partial_0\phi-\operatorname{div}A,
ローレンスゲージで 0 にするやつが出てくる．意味はちょっと分からないが．

ランダウ・リフシッツとの関係

式(1)において，双四元数の時の話と同様に虚数単位を \hat{\gamma}_{0123} とみなし，\hat{\gamma}_{0k} をかければ

-(E_k+\hat{\gamma}_{0123}B_k)\hat{\gamma}_{0k}=-E_k\hat{\gamma}_{0k}-\epsilon_{jkl}B_j\hat{\gamma}_{kl}
となり，式(6)の F らしきものが出てくる．これが式(1)の複素電磁場 F=E+iH の由来と考えられる（符号が違うがまあ大した問題ではなかろう）．

ファラデー則

F をもう1回（今度はドット積で）微分すると，マクスウェル方程式より

\partial\cdot F=\partial\cdot(\partial\wedge A)=0.

∵
\begin{align}\partial F =&(\hat{\gamma}_0\partial_0+\hat{\gamma}_1\partial_1+\hat{\gamma}_2\partial_2)(-E_1\hat{\gamma}_{01}-E_2\hat{\gamma}_{02}+B_3\hat{\gamma}_{12})\\ =&-(\partial_1E_1+\partial_2E_2)\hat{\gamma}_0 +(-\partial_0E_1+\partial_2B_3)\hat{\gamma}_1 +(-\partial_0E_2-\partial_1B_b)\hat{\gamma}_2\\ &+(\partial_1E_2-\partial_2E_1+\partial_0B_3)\hat{\gamma}_{012}\\ =&-(\operatorname{div}E)\hat{\gamma}_0 +(-\partial_0E_k+(\operatorname{rot}B) )_k)\hat{\gamma}_k +\epsilon_{jkl}( (\operatorname{rot}E)_j+\partial_0B_j)\hat{\gamma}_{0kl},\\\\ F\partial =&(\operatorname{div}E)\hat{\gamma}_0 +(\partial_0E_k-(\operatorname{rot}B) )_k)\hat{\gamma}_k +\epsilon_{jkl}( (\operatorname{rot}E)_j+\partial_0B_j)\hat{\gamma}_{0kl},\\\\ \therefore\quad \partial\wedge F=&-(\operatorname{div}E)\hat{\gamma}_0 +(-\partial_0E_k+(\operatorname{rot}B) )_k)\hat{\gamma}_k,\\ \partial\cdot F=&\epsilon_{jkl}( (\operatorname{rot}E)_j+\partial_0B_j)\hat{\gamma}_{0kl} \quad(+(\operatorname{div}B)\hat{\gamma}_{123}).\end{align}

ここで \partial\cdot F の式にマクスウェル方程式を使うと \partial\cdot F=0 となる．■

これは微分形式でいう「外微分2回したら 0 になる法則」\mathrm{d}^2A=0, 初等的に言うと \operatorname{div rot}A=0 に対応するのかな．*8

磁場・電束密度への変換とその微分

F をちょっと変換してから微分すると電荷密度 \rho, 電流密度 J となる．

\partial\cdot F^*= -\rho\hat{\gamma}_{123} +\epsilon_{jkl}J_j\hat{\gamma}_{0kl}.\tag{7}

ここで F^* は F を変換して E\mapsto D,\ B\mapsto H と書き換えたもの：
\begin{align} F^*:=&\hat{\gamma}_{0123}F|_{E\,\mapsto D,\ B\,\mapsto H}\\ =&-H_k\hat{\gamma}_{0k} -\epsilon_{jkl}D_j\hat{\gamma}_{kl}.\end{align}

∵F^* を微分すると
\begin{align}\partial F^* =&(-\partial_1D_2+\partial_2D_1-\partial_0H_3)\hat{\gamma}_3 -(\partial_1D_1+\partial_2D_2)\hat{\gamma}_{123}\\ &+(\partial_2H_3-\partial_0D_1)\hat{\gamma}_{023} +(-\partial_1H_3-\partial_0D_2)\hat{\gamma}_{031}\\ =&-( (\operatorname{rot}D)_k+\partial_0H_k)\hat{\gamma}_k -(\operatorname{div}D)\hat{\gamma}_{123} +\epsilon_{jkl}( (\operatorname{rot}H)_j-\partial_0D_j)\hat{\gamma}_{0kl},\\\\ F^*\partial=&( (\operatorname{rot}D)_j+\partial_0H_j)\hat{\gamma}_j -(\operatorname{div}D)\hat{\gamma}_{123}+\epsilon_{jkl}( (\operatorname{rot}H)_j-\partial_0D_j)\hat{\gamma}_{0kl},\end{align}

マクスウェル方程式を使えば，

\begin{align} \partial\wedge F^*=&-( (\operatorname{rot}D)_k+\partial_0H_k)\hat{\gamma}_k,\tag{8}\\\\ \partial\cdot F^*=& -(\operatorname{div}D)\hat{\gamma}_{123} +\epsilon_{jkl}( (\operatorname{rot}H)_j-\partial_0D_j)\hat{\gamma}_{0kl}\\ =& -\rho\hat{\gamma}_{123} +\epsilon_{jkl}J_j\hat{\gamma}_{0kl}.\end{align}

\partial\cdot F^* の方にちゃんと \rho,J が（\hat{\gamma} の3次の係数として）出てくることが確認できた．■

連続の式

式(7)の量を J:=\partial\cdot F^* とおいて微分すると，

\begin{align}\partial\cdot J&=(\partial_0J_1+\partial_1\rho)\hat{\gamma}_{23}+(\partial_0J_2+\partial_2\rho)\hat{\gamma}_{31}+(\partial_0J_3+\partial_3\rho)\hat{\gamma}_{12},\\\\ \partial\wedge J&=-(\partial_0\rho+\partial_1J_1+\partial_2J_2+\partial_2J_2)\hat{\gamma}_{123}.\end{align}

2本目の式が連続の式を表し，\partial\wedge J=0 となることが分かる．

ローレンツ力

符号とかの整合性がなくなってるかもだが，

\begin{align}F&=E_k\hat{\gamma}_{0k}+\epsilon_{jkl}B_j\hat{\gamma}_{kl},\\ J&=\rho\hat{\gamma}_{123} +\epsilon_{jkl}J_j\hat{\gamma}_{0kl}\end{align}
のとき，これらの積は
\begin{align}J\cdot F&= -J_kB_k\hat{\gamma}_0 +(-\rho B_1 +J_2E_3-J_3E_2)\hat{\gamma}_1 +\cdots,\\\\ J\wedge F&= J_kE_k\hat{\gamma}_{123} +(\rho E_1 +J_2B_3-J_3B_2)\hat{\gamma}_{023} +\cdots.\end{align}

J\wedge F の第2項以降でローレンツ力 \rho E+J\times B が表せている．

微分形式だとローレンツ力は表せない*9が，この形式だとできるんだな．

まとめ：電磁界曼荼羅


今後の課題

感想

  • 今回は \hat{\gamma} と表記したが，一般にはこれはガンマ行列 \gamma である．
    ガンマ行列といえば，たとえばガンマ行列 - Wikipediaとかディラック場の準備 - EMANの素粒子論とかにあるように，素粒子論のすごい難しい話の中で使われるものだと思っていたけど，こんな基礎的な話の中でも使えるのだなあ．
    まあミンコフスキー計量を（計量テンソル以外の方法で）表す方法なのだからそういうこともあるのかもしれないが．
  • 今回のような代数と微分形式を比較
    • 代数の方のメリット
    • 微分形式の方のメリット
      • 電磁気学はこっちで表す方が楽ちん．
      • 微分が全部 \mathrm{d} になり，くさび積とドット積の使い分けでややこしい思いをしなくて済む．

　なんか，両者の良い所取りをした表記法があればいいなあ．

追記

こういうのを時空代数というらしい．へえ～．

〈cf.〉

マクスウェル応力

マクスウェル応力テンソルの作り方をcopilotに訊いてみた．

\displaystyle T_{\mu\nu}=\hat{\gamma}_\mu\cdot(-\frac{1}{2}F \hat{\gamma}_\nu F)
だそうだ．
もう少し一般的にすると，任意の4元ベクトル u=u^\mu \hat{\gamma}_\mu, v=v^\mu\hat{\gamma}_\mu に対して，u\cdot(-\frac{1}{2}F v F) と従来のテンソル表現 T_{\mu\nu}u^\mu v^\nu が一致するということ．
あるいは -\frac{1}{2}F v F と T_{\mu\nu}v^\nu が対応すると言ってもいい．
エクセルで検算すると確かに合ってる．

copilotによると，2つ目の F が実はwikipediaが言うところの反転変換 F^\dagger=-F らしい．
しかし理屈がまださっぱり分からんなあ．

*1:変換式の形からして，明らかにリー群の随伴表現の話が関係してるんだけど，まだよく理解してないんだよな．

*2:本当は添え字の上付き下付きの区別もあるようだが，省略して全部下付きで書くことにする．この横着がどこかで不具合を起こさなければいいが．．．

*3:\gamma_{0j} はパウリ行列 \sigma_j とも呼ばれる．

*4:こういうのを多元環と言う，で合ってる．．．？

*5:微分形式的には1-formであることからの連想．

*6:式(6)の \hat{\gamma}_{0k} や \hat{\gamma}_{kl} は本当はくさび積で \hat{\gamma}_k\wedge\hat{\gamma}_l 等と書いた方が良いっぽい．

*7:文献によっては A\underset{\leftarrow}{\partial}:=\partial A などと表記されるようだが，慣れてないため読みにくい．

*8:一方 \partial\wedge F の式の方で E\mapsto D,\ B\mapsto H に書き換えてマクスウェル方程式を使えば

\partial\wedge F=-\rho\hat{\gamma}_0 +J_k\hat{\gamma}_k
となり，\rho,J が一応出てくる．でも脈絡なく E\mapsto D,\ B\mapsto H と変換したり，\rho,J って微分形式なら3-formなのにここで \hat{\gamma} の1次になったりしてるのがちょっと気に入らない．

*9:少なくとも表すのは無茶苦茶大変そう．
北野正雄，テンソル値微分形式による電磁気の２乗量の再解釈―電磁界曼荼羅の完成を目指して

四元数とか勉強中

参考文献

記法

（本当はクリフォード代数というのが基礎にあるけど，全く分からないので，ただの複素行列ということにして分かったところだけ書いていく．）

\begin{align}\hat{1}&:=\begin{bmatrix}1\\ &1\end{bmatrix},\\ \hat{e}_1&:=\begin{bmatrix}&1\\ 1&\end{bmatrix},\quad \hat{e}_2:=\begin{bmatrix}&-i\\i\end{bmatrix},\quad \hat{e}_3:=\begin{bmatrix}1\\ &-1\end{bmatrix},\\ \hat{e}_{23}&:=\hat{e}_2 \hat{e}_3=\begin{bmatrix}&i\\ i\end{bmatrix},\ \hat{e}_{31}:=\hat{e}_3 \hat{e}_1=\begin{bmatrix}&1\\-1\end{bmatrix},\ \hat{e}_{12}:=\hat{e}_1 \hat{e}_2=\begin{bmatrix}i\\ &-i\end{bmatrix},\\ \hat{e}_{123}&:=\hat{e}_1 \hat{e}_2 \hat{e}_3=\begin{bmatrix}i\\ &i\end{bmatrix}.\end{align} \tag{1}

  • Properties
    • {\hat{e}_1}^2={\hat{e}_2}^2={\hat{e}_3}^2=\hat{1}
    • {\hat{e}_{23}}^2={\hat{e}_{31}}^2={\hat{e}_{12}}^2={\hat{e}_{123}}^2=-\hat{1}
    • \hat{1} 以外の任意の行列2つの積は反可換．
    • \hat{1},\hat{e}_1,\hat{e}_2,\hat{e}_3 はエルミート．\hat{e}_{23},\ \hat{e}_{31},\ \hat{e}_{12},\ \hat{e}_{123} は反エルミート．
    • 式(1)の行列は，線形空間としては8つで \mathbb{C}^{2\times 2} の基底をなす，にもかかわらず群としては \hat{e}_1,\hat{e}_2,\hat{e}_3 の積から生成されている（よくできてる）．

まとめ

式(1)の行列で表現できるいろんな代数系をまとめる．

複素数

集合としては \mathbb{C}=\{x\hat{1}+y\hat{e}_{123} \;\Big{|}\; x,y\in\mathbb{R}\}.
乗積表は

\begin{array}{c|ccc} & \boldsymbol{\hat{1}} & \boldsymbol{\hat{e}_{123}}\\ \hline \boldsymbol{\hat{1}} & \hat{1} & \hat{e}_{123} \\ \boldsymbol{\hat{e}_{123}} & \hat{e}_{123} & -\hat{1} \end{array}

\hat{e}_{123} の代わりに，\hat{e}_{23},\ \hat{e}_{31},\ \hat{e}_{12} のいずれかを基底としてもよい．
2つの複素数の積は，片方共役をとると \hat{e}_{123} が反エルミートであることより
(x_1-y_1\hat{e}_{123})(x_2+y_2\hat{e}_{123})=x_1x_2+y_1y_2+(x_1y_2-y_1x_2)\hat{e}_{123}
となり，2次元ベクトルの内積と外積が現れる．

分解型複素数

\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}=\{x+y\hat{e}\;\Big{|}\; x,y\in\mathbb{R}\}. ここで \hat{e} は \hat{e}_1,\hat{e}_2,\hat{e}_3 のどれを選んでも同じ．

\begin{array}{c|ccc} & \boldsymbol{\hat{1}} & \boldsymbol{\hat{e}}\\ \hline \boldsymbol{\hat{1}} & \hat{1} & \hat{e} \\ \boldsymbol{\hat{e}} & \hat{e} & \hat{1} \end{array}

双複素数

\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}=\{x+y\hat{e}_{23}\;\Big{|}\; x,y\in\mathbb{C}\}. これは可換な4次元系になる．

\begin{array}{c|ccc} & \boldsymbol{\hat{1}} & \boldsymbol{\hat{e}_1} & \boldsymbol{\hat{e}_{23}} & \boldsymbol{\hat{e}_{123}} \\ \hline \boldsymbol{\hat{1}} & \hat{1} & \hat{e}_1 & \hat{e}_{23} & \hat{e}_{123} \\ \boldsymbol{\hat{e}_1} & \hat{e} & \hat{1} & \hat{e}_{123} & \hat{e}_{23}\\ \boldsymbol{\hat{e}_{23}} & \hat{e}_{23} & \hat{e}_{123} & -\hat{1} & -\hat{e}_1\\ \boldsymbol{\hat{e}_{123}} & \hat{e}_{123} & \hat{e}_{23} & -\hat{e}_1 & -\hat{1}\end{array}

2つの双複素数の積は，片方共役をとると，\hat{e}_{23},\hat{e}_{123} が反エルミートであることより
\begin{align}(x_1+y_1\hat{e}_1&-z_1\hat{e}_{23}-w_1\hat{e}_{123})(x_2+y_2\hat{e}_1+z_2\hat{e}_{23}+w_2\hat{e}_{123})\\ =&x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2+w_1w_2\\ &+(x_1y_2+y_1x_2+z_1w_2+w_1z_2)\hat{e}_1\\ &+(x_1z_2+y_1w_2-z_1x_2-w_1y_2)\hat{e}_{23}\\ &+(x_1w_2+y_1z_2-z_1y_2-w_1x_2)\hat{e}_{123}\end{align}
となるが，たとえば y_1=y_2=0 かつ w_1=w_2=0 のときには \mathbb{C} 同様に2次元ベクトルの内積と外積となる（というか，単に \mathbb{C} に退化してるだけ？）

四元数

\mathbb{H}=\{x+y\hat{e}_{23}+z\hat{e}_{31}+w\hat{e}_{12}\;\Big{|}\; x,y,z,w\in\mathbb{R}\}. \hat{1} との積以外は反可換．

\begin{array}{c|ccc} &\boldsymbol{\hat{1}} &\boldsymbol{\hat{e}_{23}} & \boldsymbol{\hat{e}_{31}} & \boldsymbol{\hat{e}_{12}} \\ \hline \boldsymbol{\hat{1}} & \hat{1} &\hat{e}_{23} & \hat{e}_{31} & \hat{e}_{12}\\ \boldsymbol{\hat{e}_{23}} & \hat{e}_{23} & -\hat{1} & -\hat{e}_{12} & \hat{e}_{31}\\ \boldsymbol{\hat{e}_{31}} & \hat{e}_{31} & \hat{e}_{12} & -\hat{1} & -\hat{e}_{23}\\ \boldsymbol{\hat{e}_{12}} & \hat{e}_{12} & -\hat{e}_{31} & \hat{e}_{23} & -\hat{1}\end{array}

2つの四元数の積は，実部が 0 のとき，片方共役をとって
\begin{align}(-y_1\hat{e}_{23}-z_1\hat{e}_{31}-&w_1\hat{e}_{12})(y_2\hat{e}_{23}+z_2\hat{e}_{31}+w_2\hat{e}_{12})\\ =&y_1y_2+z_1z_2+w_1w_2\\ &+(z_1w_2-w_1z_2)\hat{e}_{23}\\ &+(w_1y_2-y_1w_2)\hat{e}_{31}\\ &+(y_1z_2-z_1y_2)\hat{e}_{12}\end{align}
となり，3次元ベクトルの内積と外積が出てくる．

実部を残したまま，共役も取らずにかけてみると

\begin{align}(x_1+y_1\hat{e}_{23}+z_1\hat{e}_{31}+&w_1\hat{e}_{12})(x_2+y_2\hat{e}_{23}+z_2\hat{e}_{31}+w_2\hat{e}_{12})\\ =&x_1x_2-y_1y_2-z_1z_2-w_1w_2\\ &+(x_1y_2+y_1x_2-z_1w_2+w_1z_2)\hat{e}_{23}\\ &+(x_1z_2+z_1x_2-w_1y_2+y_1w_2)\hat{e}_{31}\\ &+(x_1w_2+w_1x_2-y_1z_2+z_1y_2)\hat{e}_{12}\end{align}
となり，実部にはミンコフスキー空間の内積が出てくる．虚部は何なのか不明．

分解型四元数

\{x+y\hat{e}_1+z\hat{e}_2+w\hat{e}_{12}\;\Big{|}\; x,y,z,w\in\mathbb{R}\}. \hat{1} との積以外は反可換．

\begin{array}{c|ccc} &\boldsymbol{\hat{1}} &\boldsymbol{\hat{e}_1} & \boldsymbol{\hat{e}_2} & \boldsymbol{\hat{e}_{12}}\\ \hline \boldsymbol{\hat{1}} &\hat{1} &\hat{e}_1 & \hat{e}_2 & \hat{e}_{12}\\ \boldsymbol{\hat{e}_1} & \hat{e}_1 & \hat{1} & \hat{e}_{12} &\hat{e}_2\\ \boldsymbol{\hat{e}_2} & \hat{e}_2 &-\hat{e}_{12} & \hat{1} & -\hat{e}_1\\ \boldsymbol{\hat{e}_{12}} & \hat{e}_{12} &-\hat{e}_2& \hat{e}_1&-\hat{1} \end{array}

これの積には，

(x_1\hat{e}_1+y_1\hat{e}_2)(x_2\hat{e}_1+y_1\hat{e}_2)=x_1x_2+y_1y_2+(x_1y_2-y_1x_2)\hat{e}_1\hat{e}_2
によって2次元ベクトルの内積と外積を求めるという使い方がある．

双四元数

\mathbb{C}\oplus\mathbb{H}=\{x+y\hat{e}_{123}\;\Big{|}\; x,y\in\mathbb{H}\}

\begin{array}{c|c|ccc|ccc|c} &\boldsymbol{\hat{1}}&\boldsymbol{\hat{e}_1}&\boldsymbol{\hat{e}_2}&\boldsymbol{\hat{e}_3}&\boldsymbol{\hat{e}_{23}}&\boldsymbol{\hat{e}_{31}}&\boldsymbol{\hat{e}_{12}}&\boldsymbol{\hat{e}_{123}}\\ \hline \boldsymbol{\hat{1}} &\hat{1} & \hat{e}_1 & \hat{e}_2 & \hat{e}_3 & \hat{e}_{23} & \hat{e}_{31} & \hat{e}_{12} & \hat{e}_{123} \\ \hline \boldsymbol{\hat{e}_1} &\hat{e}_1 & \hat{1} & \hat{e}_{12}& -\hat{e}_{31}& \hat{e}_{123}& \hat{e}_3 & \hat{e}_2& \hat{e}_{23}\\ \boldsymbol{\hat{e}_2} &\hat{e}_2 & -\hat{e}_{12}& \hat{1} & \hat{e}_{23}& \hat{e}_3 & \hat{e}_{123} & -\hat{e}_1& \hat{e}_{31}\\ \boldsymbol{\hat{e}_3} &\hat{e}_3 & \hat{e}_{31}& -\hat{e}_{23}& \hat{1} & -\hat{e}_2 & \hat{e}_1 & \hat{e}_{123} & \hat{e}_{12}\\ \hline \boldsymbol{\hat{e}_{23}} &\hat{e}_{23} & \hat{e}_{123}& -\hat{e}_3& \hat{e}_2& -\hat{1} & -\hat{e}_{12} & \hat{e}_{31}& -\hat{e}_1\\ \boldsymbol{\hat{e}_{31}} &\hat{e}_{31} & \hat{e}_3 & \hat{e}_{123}& -\hat{e}_1& \hat{e}_{12} & -\hat{1} & -\hat{e}_{23}& -\hat{e}_2\\ \boldsymbol{\hat{e}_{12}} &\hat{e}_{12} & -\hat{e}_2 & \hat{e}_1& \hat{e}_{123}& -\hat{e}_{31} & \hat{e}_{23}& -\hat{1} & -\hat{e}_3\\ \hline \boldsymbol{\hat{e}_{123}}&\hat{e}_{123} & \hat{e}_{23}& \hat{e}_{31}& \hat{e}_{12}& -\hat{e}_1 & -\hat{e}_2 & -\hat{e}_3& -\hat{1} \end{array}

2つの双四元数の積については，
(x_1+y_1\hat{e}_1+z_1\hat{e}_2+w_1\hat{e}_3)(x_2+y_2\hat{e}_1+z_2\hat{e}_2+w_2\hat{e}_3)
や，片方共役をとった
(x_1-y_1\hat{e}_{23}-z_1\hat{e}_{31}-w_1\hat{e}_{12})(x_2+y_2\hat{e}_{23}+z_2\hat{e}_{31}+w_2\hat{e}_{12})
の実部は4次元ユークリッド内積となっている．
2つ目の式は共役をとらずにかけたらミンコフスキー内積が出てくる．
どちらにせよ，虚数部は何を意味するのか不明．

あるいは，実部に \hat{e}_{123} をつけて4次元ベクトルを

x\hat{e}_{123}+y\hat{e}_{23}+z\hat{e}_{31}+w\hat{e}_{12}
と表せば，片方共役をとった積は
\begin{align}(-x_1\hat{e}_{123}&-y_1\hat{e}_{23}-z_1\hat{e}_{31}-w_1\hat{e}_{12})(x_2\hat{e}_{123}+y_2\hat{e}_{23}+z_2\hat{e}_{31}+w_2\hat{e}_{12})\\ =&x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2+w_1w_2\\ &+(x_1y_2+y_1x_2)\hat{e}_1 +(x_1z_2+z_1x_2)\hat{e}_2 +(x_1w_2+w_1x_2)\hat{e}_3\\ &+(z_1w_2-w_1z_2)\hat{e}_{23} +(w_1y_2-y_1w_2)\hat{e}_{31} +(y_1z_2-z_1y_2)\hat{e}_{12}\end{align}
となって虚部の6成分が外積っぽい形にはなるが，符号が変．

その他

次の3つは式(1)の行列では表せないようだ．

「分解型双複素数」というのも言葉としては考えられるが，存在しない？

相対論的力学　やり直し

相対論

1年前の記事が，自分で言ってて意味わからんくなったので再勉強．
折角なので電磁力も加えてみる．
wetch.hatenablog.com

前提知識：拡大配位空間

参考wetch.hatenablog.com

一般的に，ラグランジアンや作用積分

\displaystyle S=\int L(t,\boldsymbol{x},\boldsymbol{v})\mathrm{d}t
が与えられている系を考える．ただし \boldsymbol{v} は後々 \boldsymbol{v}=\mathrm{d}\boldsymbol{x}/\mathrm{d}t となることを想定された独立変数とする．

t を \boldsymbol{x} と同じ立ち位置にしたいので，積分変数を t から 何か別の変数 \tau に変換し，

\displaystyle S=\int \tilde{L}(t,\boldsymbol{x},\gamma,\boldsymbol{u})\mathrm{d}\tau
と表してみる．ここで\gamma, \boldsymbol{u} は後々 \gamma=\mathrm{d}t/\mathrm{d}\tau, \boldsymbol{u}=\mathrm{d}\boldsymbol{x}/\mathrm{d}\tau となることを想定された独立変数．
すると \tilde{L}\mathrm{d}\tau=L\mathrm{d}t だから
\begin{align} \tilde{L}(t,\boldsymbol{x},\gamma,\boldsymbol{u})=&\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}L(t,\boldsymbol{x},\boldsymbol{v})\\ =&\gamma L(t,\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}/\gamma)\end{align} \tag{1.1}
と表せる．

  • この \tilde{L} から運動量を求めてみると，*1
    \begin{align} \boldsymbol{p}_x:=\frac{\partial \tilde{L}}{\partial \boldsymbol{u}}=&\gamma\frac{\partial L(t,\boldsymbol{x},\boldsymbol{v})}{\partial \boldsymbol{v}}\Bigg{|}_{v=u/\gamma}\cdot\frac{\partial(\boldsymbol{u}/\gamma)}{\partial \boldsymbol{u}}\\ =&\frac{\partial L(t,\boldsymbol{x},\boldsymbol{v})}{\partial \boldsymbol{v}}\Bigg{|}_{v=u/\gamma}\end{align} \tag{1.2}
    となり，L から求めた運動量と \tilde{L} から求めた運動量は \boldsymbol{v}=\boldsymbol{u}/\gamma のもとで同じ．
  • 一方，増やした変数 t に共役な運動量はと言うと
    \begin{align}p_t:=&\frac{\partial \tilde{L}}{\partial \gamma}\\ =&L(t,\boldsymbol{x},\boldsymbol{v})\Bigg|_{v=u/\gamma}+\gamma\frac{\partial L(t,\boldsymbol{x},\boldsymbol{v})}{\partial \boldsymbol{v}}\Bigg|_{v=u/\gamma}\cdot\frac{\partial(\boldsymbol{u}/\gamma)}{\partial \gamma}\\ =&\left[L-\frac{\boldsymbol{u}}{\gamma}\cdot\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{v}}\right]_{v=u/\gamma}\\=&-H(t,\boldsymbol{x},\boldsymbol{p}_x).\end{align} \tag{1.3}
    つまり L から求めたハミルトニアンになる．
  • じゃあ \tilde{L} からハミルトニアンを求めると？となるが，これは \tilde{L} が \gamma,u に関して1次同次関数になり，*2
    \displaystyle \tilde{L}=\boldsymbol{p}_x\cdot\boldsymbol{u}+p_t\gamma \tag{1.4}
    と書けることから，（ルジャンドル変換の定理として）
    \displaystyle \times\quad\tilde{H}:=\boldsymbol{p}_x\cdot\boldsymbol{u}+p_t\gamma-\tilde{L}=0
    となり，考える意味がなくなる．    （どうやら，運動は \tilde{H}=0 の超曲面上に制約されているが，別に相空間全体で \tilde{H}\equiv 0 という訳ではなく，
    \displaystyle \mathrm{d}\tilde{H}(t,x,p_t,p_x)=u\mathrm{d}p_x+\gamma\mathrm{d}p_t+\gamma\left(\frac{\partial L}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t\right) \tag{1.5}
    になるようだ．よってここは要再考．）
  • eomは，x 成分は
    \begin{align}0=&\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}_x}{\mathrm{d}\tau} -\frac{\partial \tilde{L}}{\partial \boldsymbol{x}}\\ =&\gamma\left\{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{v}} -\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{x}}\right\}\end{align}
    なので L を使った通常のeomと同じ．
    一方 t 成分は，
    \begin{align}0=&\frac{\mathrm{d}p_t}{\mathrm{d}\tau} -\frac{\partial \tilde{L}}{\partial t}\\ =&-\gamma\left\{\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t} +\frac{\partial L}{\partial t}\right\}\end{align}
    となる．これはエネルギー保存．．．？
  • ポアソン括弧：式(1.5)より
    \begin{align}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\tau}=&\{x,\tilde{H}\}=\frac{\partial \tilde{H}}{\partial p_x}=u,& \frac{\mathrm{d}p_x}{\mathrm{d}\tau}=&\{p_x,\tilde{H}\}=-\frac{\partial \tilde{H}}{\partial x}=\gamma\frac{\partial L}{\partial x},\\ \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}=&\{t,\tilde{H}\}=\frac{\partial \tilde{H}}{\partial p_t}=\gamma,& \frac{\mathrm{d}p_t}{\mathrm{d}\tau}=&\{p_t,\tilde{H}\}=-\frac{\partial \tilde{H}}{\partial t}=\gamma\frac{\partial L}{\partial t}.\end{align} \tag{1.6}

非共変的相対論的力学

ここから質点の運動を考えていこう．
まずは通常のニュートン力学のように，t と x を分けて考える．速度を \boldsymbol{v}=\mathrm{d}\boldsymbol{x}/\mathrm{d}t とする．

ラグランジアンと作用を

\begin{align} &S=\int L(t,\boldsymbol{x},\boldsymbol{v})\mathrm{d}t,\\ &L(t,\boldsymbol{x},\boldsymbol{v})=-mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} -q\phi(t,\boldsymbol{x})+q\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{A}(t,\boldsymbol{x})\end{align} \tag{2.1}
と（天下りに）与える．すると

  • 運動量の定義は（前回の記事では悩みどころのひとつだったが），ラグランジアンの速度微分とする．
    \displaystyle \boldsymbol{p} \equiv\frac{\partial L(t,\boldsymbol{x},\boldsymbol{v})}{\partial \boldsymbol{v}}=\frac{m\boldsymbol{v}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}+q\boldsymbol{A}(t,\boldsymbol{x}). \tag{2.2}
  • エネルギー，またはハミルトニアンは
    \begin{align} H &\equiv\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{v}-L\\&=\frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}+q\phi.\end{align} \tag{2.3}
    より，運動量とエネルギーの間には
    \displaystyle \left(\frac{H-q\phi}{c}\right)^2 -(p-qA)^2 =(mc)^2 \tag{2.4}
    の関係がある*3ので，H を v ではなく（正式に）p で表すと
    H(t,x,\boldsymbol{p})=c\sqrt{(mc)^2+(p-qA)^2}+q\phi. \tag{2.5}
  • eomはやけに複雑になって
    \begin{align} 0=&\boldsymbol{\dot{p}} -\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{x}}\\ =&\left\{\frac{m\boldsymbol{\dot{v}}}{\sqrt{1-v^2/c^2}} +\frac{m\dot{v}_i\,v^i\,\boldsymbol{v}}{c^2(1-v^2/c^2)^{3/2}} +q\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}+qv^i\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial x^i}\right\}\\ &-\left\{-q\frac{\partial \phi}{\partial \boldsymbol{x}} +qv^i\frac{\partial A_i}{\partial \boldsymbol{x}}\right\}.\end{align}
    \begin{align} \therefore \frac{m\boldsymbol{\dot{v}}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=&-\frac{m\dot{v}_i\,v^i\,\boldsymbol{v}}{c^2(1-v^2/c^2)^{3/2}}\\ & -q\frac{\partial \phi}{\partial \boldsymbol{x}} -q\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t} +qv^i\left(\frac{\partial A_i}{\partial \boldsymbol{x}} -\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial x^i}\right).\end{align}

    ただし上付きドットは \dot{\square}:=\mathrm{d}\square/\mathrm{d}t. また一部 \boldsymbol{x},\boldsymbol{v} の成分をx^i,v^i と表している．\phi,\boldsymbol{A} の微分を電場と磁束密度で表すのは省略．
  • ポアソン括弧：式(2.5)より
    \begin{align}\dot{\boldsymbol{x}}=&\{\boldsymbol{x},H\}=\frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{p}}\\=&\frac{c}{\sqrt{(mc)^2+(p-qA)^2}}(\boldsymbol{p}-q\boldsymbol{A}),\\\\ \dot{\boldsymbol{p}}=&\{\boldsymbol{p},H\}=-\frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{x}}\\=&\frac{c}{\sqrt{(mc)^2+(p-qA)^2}}(p^i-qA^i)\frac{\partial A_i}{\partial \boldsymbol{x}}-q\frac{\partial \phi}{\partial \boldsymbol{x}}.\end{align}
  • 正準変換・ゲージ変換：変換後の変数にプライムをつけて書くことにする．母関数を
    W(t,\boldsymbol{x},\boldsymbol{p}')=\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{p}'-q\chi(t,\boldsymbol{x})
    とすると，
    \begin{align}\boldsymbol{x}'=&\frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{p}}=\boldsymbol{x},\\ \boldsymbol{p}=&\frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{x}}=\boldsymbol{p}'-q\frac{\partial \chi}{\partial \boldsymbol{x}},\\ H'=&H+\frac{\partial W}{\partial t}=H-q\frac{\partial \chi}{\partial t}\\=&c\sqrt{(mc)^2+\left(p'-q(A-\frac{\partial \chi}{\partial x})\right)^2}+q\left(\phi+\frac{\partial \chi}{\partial t}\right)\\=&c\sqrt{(mc)^2+(p'-qA')^2}+q\phi'.\end{align}

共変的相対論的力学

時間と空間が並立する相対論的な定式化にするため，拡大配位空間と相対論の式を組み合わせる．ここでも \gamma:=\mathrm{d}t/\mathrm{d}\tau, \boldsymbol{u}:=\mathrm{d}\boldsymbol{x}/\mathrm{d}\tau とする．

  • ラグランジアンは式(1.1), (2.1)より
    \begin{align} &S=\int \tilde{L}(t,\boldsymbol{x},\gamma,\boldsymbol{u})\mathrm{d}\tau,\\ &\tilde{L}(t,\boldsymbol{x},\gamma,\boldsymbol{u}) =\gamma\left\{-mc^2\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2\gamma^2}}-q\phi(t,\boldsymbol{x}) +q\frac{\boldsymbol{u}}{\gamma}\cdot\boldsymbol{A}(t,\boldsymbol{x})\right\}.\end{align} \tag{3.1}
  • 運動量は
    \displaystyle \boldsymbol{p}_x=\frac{\partial \tilde{L}}{\partial \boldsymbol{u}}=\frac{m}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2\gamma^2}}}\frac{\boldsymbol{u}}{\gamma} +q\boldsymbol{A}. \tag{3.2}
    u/\gamma=v であることに注意して対比すれば，この p_x は式(2.2)の運動量 \boldsymbol{p} と一致していることが分かる（式(1.2)から既に分かっていたことではある）．
    これが前回の記事の悩みの一つであった，相対論的速度で微分するのか，ニュートン力学的速度で微分するのかという問いへの回答となる．
  • t に共役な運動量は
    \displaystyle p_t=\frac{\partial \tilde{L}}{\partial \gamma}=-\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2\gamma^2}}}-q\phi. \tag{3.3}
    これも u/\gamma=v に注意すれば，式(2.3)のハミルトニアン H のマイナスになっている（これも式(1.3)から既知のこと）．
    前回の記事ではこれに対して，具体的計算をするとたまたま一致しただけという感想を持っていたが，そうではなく一般的に言えることが分かった．
  • 式(3.2), (3.3)を代入すれば，式(2.4)に対応して，
    \displaystyle \left(\frac{p_t+q\phi}{c}\right)^2 -(p_x-qA)^2 =(mc)^2 \tag{3.4}
    が成り立つ．
  • 式(1.4)も検算しよう．式(3.2), (3.3)から計算してみると，
    \begin{align} \boldsymbol{p}_x\cdot\boldsymbol{u}+p_t\gamma=&\left\{\frac{m\boldsymbol{u}}{\gamma\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2\gamma^2}}} +q\boldsymbol{A}\right\}\cdot\boldsymbol{u} -\left\{\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2\gamma^2}}} -q\phi\right\}\gamma\\=&\gamma\left\{-mc^2\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2\gamma^2}} -q\phi +q\boldsymbol{A}\cdot\frac{\boldsymbol{u}}{\gamma}\right\}\end{align}
    となり，確かに式(3.1)の \tilde{L} と等しい．
  • eomは省略．*4
  • ポアソン括弧：式(1.6)に式(2.1)を代入
    \begin{align}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{x}}{\mathrm{d}\tau}&=\boldsymbol{u},& \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p_x}}{\mathrm{d}\tau}&=q\gamma \frac{\partial \phi}{\partial \boldsymbol{x}}-qu^i\frac{\partial A_i}{\partial \boldsymbol{x}},\\ \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}&=\gamma,& \frac{\mathrm{d}p_t}{\mathrm{d}\tau}&=q\gamma\frac{\partial \phi}{\partial t}-qu^i\frac{\partial A_i}{\partial t}.\end{align} \tag{3.5}
    （\{\cdot,H\} の形で表すとどうなる？）
  • 正準変換：

共変的相対論的力学を4元ベクトル化

時間と空間を完全に一体化させるために4元ベクトル

\begin{align}x^\mu&:=(ct,\boldsymbol{x}),\\u^\mu&:=(c\gamma,\boldsymbol{u}),\\p_\mu&:=(p_t/c,\boldsymbol{p}_x),\\A_\mu&:=(-\phi/c,\boldsymbol{A})\end{align}
で書き換える．
計量は(+ - - -)とする．

  • ラグランジアンは式(3.1)より
    \displaystyle S=\int \tilde{L}\,\mathrm{d}\tau,\quad \tilde{L}(x^\mu,u^\mu)=-mc\sqrt{u^\nu u_\nu} +qu^\nu A_\nu(x^\mu). \tag{4.1}
  • 運動量は式(3.2), (3.3)をまとめて
    \begin{align} p_\mu=\frac{\partial \tilde{L}}{\partial u^\mu}\Bigg{|}_{u^\nu u_\nu=c^2}=&-\frac{mc u_\mu}{\sqrt{u^\nu u_\nu}}\Bigg{|}_{u^\nu u_\nu=c^2} +qA_\mu\\ =&-mu_\mu+qA_\mu.\end{align} \tag{4.2}

    式(4.2)の時間成分を式(3.3), (2.3), (1.3)と遡って見ていけば，繰り返しになるが cp_0 がハミルトニアンに対応することが言える．
  • 式(4.2)を代入すれば，式(3.4)に対応して，
    \displaystyle (p_\mu-qA_\mu)(p^\mu-qA^\mu) =(mc)^2 \tag{4.3}
    が成り立つ．
  • 式(1.4)に対応して，
    \displaystyle \tilde{L}=p_\mu u^\mu
    とシンプルに書けることも式(4.1), (4.2)から確かめられる．
  • eomは，ここでだけ \dot{\square}:=\mathrm{d\square}/\mathrm{d}\tau として
    \begin{align} \dot{p}_\mu =&\frac{mc\dot{v}_\mu}{\sqrt{u^\nu u_\nu}} -\frac{mc(u^\rho \dot{v}_\rho)u_\mu}{(u^\nu u_\nu)^{3/2}} +qu^\nu\frac{\partial A_\mu}{\partial x^\nu},\\ \frac{\partial \tilde{L}}{\partial x^\mu} =&qu^\nu\frac{\partial A_\nu}{\partial x^\mu}\end{align}
    より，
    \displaystyle \frac{mc\dot{v}_\mu}{\sqrt{u^\nu u_\nu}} =\frac{mc(u^\rho \dot{v}_\rho)u_\mu}{(u^\nu u_\nu)^{3/2}} +qu^\nu\left(\frac{\partial A_\nu}{\partial x^\mu} -\frac{\partial A_\mu}{\partial x^\nu}\right),

    ここに u^\nu u_\nu=c^2 を適用すれば
    \displaystyle m\dot{v}_\mu =\frac{m(u^\rho \dot{v}_\rho)u_\mu}{c^2} +qu^\nu\left(\frac{\partial A_\nu}{\partial x^\mu} -\frac{\partial A_\mu}{\partial x^\nu}\right).
  • ポアソン括弧：式(3.5)に対応して
    \displaystyle \frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}\tau}=u^\mu,\quad \frac{\mathrm{d}p_\mu}{\mathrm{d}\tau}=-qu^\nu\frac{\partial A_\nu}{\partial x^\mu}. \tag{4.4}
  • 正準変換：

（書きかけ）微分形式

速度を \mathrm{d}x^\mu=u^\mu\mathrm{d}\tau と，作用とラグランジアンを

\displaystyle S=\int\mathcal{L},\quad\mathcal{L}:=\tilde{L}\mathrm{d}\tau
と書き換える．
ラグランジアンは式(4.1)より，
\begin{align}\mathcal{L} =&-mc\sqrt{u^\nu u_\nu}\,\mathrm{d}\tau +qu^\nu A_\nu\mathrm{d}\tau\\ =&-mc\sqrt{\mathrm{d}x^\nu \mathrm{d}x_\nu} +qA_\nu\mathrm{d}x^\nu.\end{align}

運動量は式(4.2)より，*5
\begin{align} p_\mu=&\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\mathrm{d}x^\mu)}\Bigg{|}_{u^\nu u_\nu=c^2} =-mu_\mu+qA_\mu.\end{align}

懸念

今回のような話の流れだと，各4元ベクトルがちゃんとローレンツ変換をすることを後で示さないとならないのか？
\tau がスカラー，かつ x^\mu がローレンツ変換するベクトルであることを仮定すれば示せるのか？

*1:本当は掛け算の順番を気にしなきゃいけないが，\displaystyle \frac{\partial(\boldsymbol{u}/\gamma)}{\partial \boldsymbol{u}} は単位行列の 1/\gamma 倍になる．

*2:1次同次関数になる証明：任意の係数 k に対して

\begin{align}\tilde{L}(t,\boldsymbol{x},k\gamma,k\boldsymbol{u})=&k\gamma L(t,\boldsymbol{x},k\boldsymbol{u}/k\gamma)\\ =&k\gamma L(t,\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}/\gamma)\\ =&k\tilde{L}(t,\boldsymbol{x},\gamma,\boldsymbol{u}).\end{align}

*3:この関係は拡大配位空間には関係なく，ラグランジアンを式(2.1)で与えたからたまたま成り立つ，とこの時点では解釈するしかないのかな？

*4:一度計算しかけてはみたんだけど．．．

\begin{align}\frac{\partial \boldsymbol{p}_x}{\partial \tau}=&\frac{m}{c^2\gamma^2(1-\frac{u^2}{c^2\gamma^2})^{3/2}}\left\{\frac{u}{\gamma}(u\cdot\frac{du}{d\tau}) +(1-\frac{u^2}{c^2\gamma^2})c^2\gamma\frac{du}{d\tau} -c^2u\frac{d\gamma}{d\tau}\right\}\\ & +q\gamma\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t} +qu^i\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial x^i},\\ \frac{\partial p_t}{\partial \tau}=&\frac{m}{(1-\frac{u^2}{c^2\gamma^2})^{3/2}}\left(\frac{\boldsymbol{u}}{\gamma^2}\cdot\frac{d\boldsymbol{u}}{d\tau}-\frac{u^2}{\gamma^3}\frac{d\gamma}{d\tau}\right) +q\gamma\frac{\partial \phi}{\partial t}+qu^i\frac{\partial \phi}{\partial x^i}\end{align}
なんじゃこれ．

*5:p_\mu がベクトルなのに0-formであることが自分の中で整合しないなあ．1-formの基底は \mathrm{d}x^\mu だが，0-formベクトルの基底は何なんだろう？ \mathrm{d}x と打ち消し合わないといけないから，\partial/\partial x だったり？