wetchのブログ

他人に見られることを想定していない書き散らかし独習ノート．物理学とかVBAとか．

テンソルを使わない相対論・電磁気学

電磁気学 物理学・数学 相対論

2025年夏の成果．

この記事の注意

符号がややこしいので，計算を間違ってる可能性大．
雰囲気で，何となくうまくいくように解釈すること．

文献調査

やりたいこと

上記の文献は普通のテンソル表記じゃなくて変わった代数式で表してるのは面白い．
ただ、書き方がそろってないので統一する作業を通じて理解を深めたい．

．．．と思ったのだが，思考は思わぬ方向へ進み，四元数や双四元数よりもちょっと広い代数系で考えるハメになった．

基底 \hat{\gamma} について

唐突に，\hat{\gamma}_\mu,\ (\mu=0,1,2,3) を

\hat{\gamma}_\mu\hat{\gamma}_\nu=\begin{cases}1,&(\mu=\nu=0)\\-1,&(\mu=\nu=1,2,3)\\-\hat{\gamma}_\nu\hat{\gamma}_\mu,&(\mu\neq\nu)\end{cases}
を満たす数とする．

具体的にはガンマ行列で，たとえば4×4複素行列表現で

\begin{align}\hat{\gamma}_0&=\begin{bmatrix}1\\&1\\&&-1\\&&&-1\end{bmatrix},& \hat{\gamma}_1&=\begin{bmatrix}&&&1\\&&1\\&-1\\-1\end{bmatrix},\\ \hat{\gamma}_2&=\begin{bmatrix}&&&-i\\&&i\\&i\\-i\end{bmatrix},& \hat{\gamma}_3&=\begin{bmatrix}&&1\\&&&-1\\-1\\&1\end{bmatrix}\end{align}
と書ける（が，あまり行列であることを意識しないほうがいいっぽい）．

また，その積を

\begin{align}\hat{\gamma}_{\mu\nu}&:=\hat{\gamma}_\mu\hat{\gamma}_\nu,\\ \hat{\gamma}_{\mu\nu\rho}&:=\hat{\gamma}_\mu\hat{\gamma}_\nu\hat{\gamma}_\rho,\\ \hat{\gamma}_{\mu\nu\rho\sigma}&:=\hat{\gamma}_\mu\hat{\gamma}_\nu\hat{\gamma}_\rho\hat{\gamma}_\sigma\end{align}
などと略記する．*2*3

性質：

  • \hat{\gamma}_\mu,\hat{\gamma}_{\mu\nu},\hat{\gamma}_{\mu\nu\rho},\hat{\gamma}_{0123} および単位行列 1（合計16個の数）は（実数係数での和を考えるとき）線形独立であり，16次元実線形空間の基底を成している．*4
  • 各基底の2乗は ±1 となる．これは以降の式変形で（明示はしないが）多用する．
    • 2乗が +1 になるやつ
      {\hat{\gamma}_0}^2={\hat{\gamma}_{01}}^2={\hat{\gamma}_{02}}^2={\hat{\gamma}_{03}}^2={\hat{\gamma}_{123}}^2=1
    • 2乗が -1 になるやつ
      \begin{align}{\hat{\gamma}_1}^2&={\hat{\gamma}_2}^2={\hat{\gamma}_3}^2={\hat{\gamma}_{23}}^2={\hat{\gamma}_{31}}^2={\hat{\gamma}_{12}}^2\\&={\hat{\gamma}_{023}}^2={\hat{\gamma}_{031}}^2={\hat{\gamma}_{012}}^2={\hat{\gamma}_{0123}}^2=-1\end{align}

ミンコフスキー空間

ベクトル x^\mu と

x:=x^\mu\hat{\gamma}_\mu\equiv x^0\hat{\gamma}_0+x^1\hat{\gamma}_1+x^2\hat{\gamma}_2+x^3\hat{\gamma}_3 \tag{3}
とを対応付ける．

積

2つのベクトル x,y の積を計算してみると，（\mu=2,3 の項は省略して）

\begin{align}xy&=(x^0\hat{\gamma}_0+x^1\hat{\gamma}_1+\cdots)(y^0\hat{\gamma}_0+y^1\hat{\gamma}_1+\cdots)\\&=x^0y^0{\hat{\gamma}_0}^2+x^1y^1{\hat{\gamma}_1}^2+x^0y^1\hat{\gamma}_{01}+x^1y^0\hat{\gamma}_{10}+\cdots\\&=x^0y^0-x^1y^1 +(x^0y^1-x^1y^0)\hat{\gamma}_{01}+\cdots,\\\\ yx&=x^0y^0-x^1y^1 -(x^0y^1-x^1y^0)\hat{\gamma}_{01}+\cdots\end{align}
であり，ドット積
\begin{align}x\cdot y:=&(xy+yx)/2\\=&x^0y^0-x^1y^1-x^2y^2-x^3y^3\end{align}
とくさび積
\begin{align}x\wedge y:=&(xy-yx)/2\\=&(x^0y^1-x^1y^0)\hat{\gamma}_{01}+(x^0y^2-x^2y^0)\hat{\gamma}_{02}+(x^0y^3-x^3y^0)\hat{\gamma}_{03}\\&+(x^2y^3-x^3y^2)\hat{\gamma}_{23}+(x^3y^1-x^1y^3)\hat{\gamma}_{31}+(x^1y^2-x^2y^1)\hat{\gamma}_{12}\end{align}
より，いわゆる内積と外積が計算できる．

3次元空間回転

\theta を回転角として，

\begin{align}R&:=\cos\frac{\theta}{2}+\sin\frac{\theta}{2}\hat{\gamma}_{23},\\ R^{-1}&:=\cos\frac{\theta}{2}-\sin\frac{\theta}{2}\hat{\gamma}_{23}\end{align}\tag{4}
とする．積 RR^{-1}=\cos^2\frac{\theta}{2}+\sin^2\frac{\theta}{2}=1 なので R^{-1} は R の逆元である．

x の前後にこれらをかけてみると

\begin{align}x':=&RxR^{-1}\\=&\left(\cos\frac{\theta}{2}+\sin\frac{\theta}{2}\hat{\gamma}_{23}\right)(x^0\hat{\gamma}_0+x^1\hat{\gamma}_1+x^2\hat{\gamma}_2+x^3\hat{\gamma}_3)\left(\cos\frac{\theta}{2}-\sin\frac{\theta}{2}\hat{\gamma}_{23}\right)\\=&x^0\hat{\gamma}_0+x^1\hat{\gamma}_1+(x^2\cos\theta-x^3\sin\theta)\hat{\gamma}_2+(x^2\sin\theta+x^3\cos\theta)\hat{\gamma}_3\end{align}
となるが，これは3次元空間で x^2x^3 平面内に \theta 回転したベクトル
x'^\mu=\begin{bmatrix}x^0\\x^1\\x^2\cos\theta-x^2\sin\theta\\x^2\sin\theta+x^3\cos\theta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\&1\\&&\cos\theta&-\sin\theta\\&&\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x^0\\x^1\\x^2\\x^3\end{bmatrix}
と対応している．つまり R が回転を表しているということ．

ローレンツブースト

\eta をラピディティとして

\begin{align}B&:=\cosh\frac{\eta}{2}-\sinh\frac{\eta}{2}\hat{\gamma}_{01},\\ B^{-1}&:=\cosh\frac{\eta}{2}+\sinh\frac{\eta}{2}\hat{\gamma}_{01}\end{align}\tag{5}
とする．BB^{-1}=\cosh^2\frac{\eta}{2}-\sinh^2\frac{\eta}{2}=1 なので B^{-1} は B の逆元．

で，同様に x の前後からかけてみると，

\begin{align}x':=&BxB^{-1}\\=&\left(\cosh\frac{\eta}{2}-\sinh\frac{\eta}{2}\hat{\gamma}_{01}\right)(x^0\hat{\gamma}_0+x^1\hat{\gamma}_1+x^2\hat{\gamma}_2+x^3\hat{\gamma}_3)\left(\cosh\frac{\eta}{2}+\sinh\frac{\eta}{2}\hat{\gamma}_{01}\right)\\=&(x^0\cosh\eta+x^1\sinh\eta)\hat{\gamma}_0+(x^0\sinh\eta+x^1\cosh\eta)\hat{\gamma}_1+x^2\hat{\gamma}_2+x^3\hat{\gamma}_3\end{align}
となり，これは x^1 方向にローレンツブーストしたベクトル
x'^\mu=\begin{bmatrix}x^0\cosh\eta+x^1\sinh\eta\\x^0\sinh\eta+x^1\cosh\eta\\x^2\\x^3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cosh\eta&\sinh\eta\\\sinh\eta&\cosh\eta\\&&1\\&&&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x^0\\x^1\\x^2\\x^3\end{bmatrix}
と対応しているので，B がローレンツブーストを表していることが分かる．

一般のミンコフスキー空間の回転（複数の回転とローレンツブーストの組み合わせ）もこういう R,B のようなものを各方向ごとに作って前後から順次掛けていけば表すことができる．

四元数との関係

一般の3次元回転は式(4)から類推するに \{1,\hat{\gamma}_{23},\hat{\gamma}_{31},\hat{\gamma}_{12}\} を掛けたものの線形和で表されると考えられるが，実はこれが四元数になっている．\hat{\gamma}_{23},\hat{\gamma}_{31},\hat{\gamma}_{12} が四元数としての虚数単位．

双四元数との関係

一般の方向へのローレンツブーストは式(5)から類推するに \{1, \hat{\gamma}_{01}, \hat{\gamma}_{02}, \hat{\gamma}_{03}\} の線形和をいくつか掛けたものになるとわかる．
ということは，4次元ミンコフスキー空間の回転は3次元回転とこれらを全部掛け合わせて \{1,\hat{\gamma}_{\mu\nu}, \hat{\gamma}_{0123}\} という8つの基底の線形和で表されることになる．
これが双四元数と同型であり，\hat{\gamma}_{0123} が複素数としての虚数単位，すなわち四元数としての虚数単位 \hat{\gamma}_{23},\hat{\gamma}_{31},\hat{\gamma}_{12} と独立（可換）な虚数単位と解釈される．
式(2)と対応させると，

i_1=\hat{\gamma}_{23},\quad i_2=\hat{\gamma}_{31},\quad i_3=\hat{\gamma}_{12}\quad h=\hat{\gamma}_{0123}
ということ．

電磁気学

電磁ポテンシャルベクトルが式(3)のように*5

A:=-\phi\hat{\gamma}_0+A_k\hat{\gamma}_k
と書けると仮定しよう．

また、\nabla に対応する微分作用素もベクトルなので，

\displaystyle \partial:=\hat{\gamma}_0\partial_0+\hat{\gamma}_k\partial_k
と書こう．

電場・磁束密度の計算

このポテンシャル A をくさび積で微分すると電場 E, 磁束密度 B になる．*6

\begin{align}F:=\partial\wedge A =& -E_k\hat{\gamma}_{0k} +\epsilon_{jkl}B_j\hat{\gamma}_{kl}.\end{align} \tag{6}

∵
\begin{align}\partial A =&(\hat{\gamma}_0\partial_0+\hat{\gamma}_j\partial_j)(-\phi\hat{\gamma}_0+A_k\hat{\gamma}_k)\\ =&-\partial_0\phi -\partial_kA_k +(\partial_k\phi+\partial_0A_k)\hat{\gamma}_{0k} +(\partial_jA_k-\partial_kA_j)\hat{\gamma}_{jk}\\ =&-\partial_0\phi -\operatorname{div}A +( (\operatorname{grad}\phi)_k +\partial_0A_k)\hat{\gamma}_{0k} +\epsilon_{jkl}(\operatorname{rot}A)_l\hat{\gamma}_{jk},\end{align}

ただし \epsilon_{jkl} はエディントンエプシロン．
ここに \phi,A と E,B の関係式を使うと
\partial A=-\partial_0\phi -\operatorname{div}A -E_k\hat{\gamma}_{0k} +\epsilon_{jkl}B_j\hat{\gamma}_{kl}
と計算される．

一方，

\begin{align}A\partial =&(-\phi\hat{\gamma}_0+A_k\hat{\gamma}_k)(\hat{\gamma}_0\partial_0+\hat{\gamma}_j\partial_j)\\ =&-\partial_0\phi -\operatorname{div}A +E_k\hat{\gamma}_{01} -\epsilon_{jkl}(\operatorname{rot}B)_j\hat{\gamma}_kl\end{align}
である．ただし，計算途中で偏微分 \partial_\mu はスカラー \phi,A_k にかかるものとして順序は入れ替えている．*7

よって，

\begin{align}\partial\wedge A \equiv&\partial A-A\partial\\ =& -E_k\hat{\gamma}_{0k} +\epsilon_{jkl}B_j\hat{\gamma}_{kl}.\blacksquare\end{align}

ちなみにドット積をとってみると

\partial\cdot A=-\partial_0\phi-\operatorname{div}A,
ローレンスゲージで 0 にするやつが出てくる．意味はちょっと分からないが．

ランダウ・リフシッツとの関係

式(1)において，双四元数の時の話と同様に虚数単位を \hat{\gamma}_{0123} とみなし，\hat{\gamma}_{0k} をかければ

-(E_k+\hat{\gamma}_{0123}B_k)\hat{\gamma}_{0k}=-E_k\hat{\gamma}_{0k}-\epsilon_{jkl}B_j\hat{\gamma}_{kl}
となり，式(6)の F らしきものが出てくる．これが式(1)の複素電磁場 F=E+iH の由来と考えられる（符号が違うがまあ大した問題ではなかろう）．

ファラデー則

F をもう1回（今度はドット積で）微分すると，マクスウェル方程式より

\partial\cdot F=\partial\cdot(\partial\wedge A)=0.

∵
\begin{align}\partial F =&(\hat{\gamma}_0\partial_0+\hat{\gamma}_1\partial_1+\hat{\gamma}_2\partial_2)(-E_1\hat{\gamma}_{01}-E_2\hat{\gamma}_{02}+B_3\hat{\gamma}_{12})\\ =&-(\partial_1E_1+\partial_2E_2)\hat{\gamma}_0 +(-\partial_0E_1+\partial_2B_3)\hat{\gamma}_1 +(-\partial_0E_2-\partial_1B_b)\hat{\gamma}_2\\ &+(\partial_1E_2-\partial_2E_1+\partial_0B_3)\hat{\gamma}_{012}\\ =&-(\operatorname{div}E)\hat{\gamma}_0 +(-\partial_0E_k+(\operatorname{rot}B) )_k)\hat{\gamma}_k +\epsilon_{jkl}( (\operatorname{rot}E)_j+\partial_0B_j)\hat{\gamma}_{0kl},\\\\ F\partial =&(\operatorname{div}E)\hat{\gamma}_0 +(\partial_0E_k-(\operatorname{rot}B) )_k)\hat{\gamma}_k +\epsilon_{jkl}( (\operatorname{rot}E)_j+\partial_0B_j)\hat{\gamma}_{0kl},\\\\ \therefore\quad \partial\wedge F=&-(\operatorname{div}E)\hat{\gamma}_0 +(-\partial_0E_k+(\operatorname{rot}B) )_k)\hat{\gamma}_k,\\ \partial\cdot F=&\epsilon_{jkl}( (\operatorname{rot}E)_j+\partial_0B_j)\hat{\gamma}_{0kl} \quad(+(\operatorname{div}B)\hat{\gamma}_{123}).\end{align}

ここで \partial\cdot F の式にマクスウェル方程式を使うと \partial\cdot F=0 となる．■

これは微分形式でいう「外微分2回したら 0 になる法則」\mathrm{d}^2A=0, 初等的に言うと \operatorname{div rot}A=0 に対応するのかな．*8

磁場・電束密度への変換とその微分

F をちょっと変換してから微分すると電荷密度 \rho, 電流密度 J となる．

\partial\cdot F^*= -\rho\hat{\gamma}_{123} +\epsilon_{jkl}J_j\hat{\gamma}_{0kl}.\tag{7}

ここで F^* は F を変換して E\mapsto D,\ B\mapsto H と書き換えたもの：
\begin{align} F^*:=&\hat{\gamma}_{0123}F|_{E\,\mapsto D,\ B\,\mapsto H}\\ =&-H_k\hat{\gamma}_{0k} -\epsilon_{jkl}D_j\hat{\gamma}_{kl}.\end{align}

∵F^* を微分すると
\begin{align}\partial F^* =&(-\partial_1D_2+\partial_2D_1-\partial_0H_3)\hat{\gamma}_3 -(\partial_1D_1+\partial_2D_2)\hat{\gamma}_{123}\\ &+(\partial_2H_3-\partial_0D_1)\hat{\gamma}_{023} +(-\partial_1H_3-\partial_0D_2)\hat{\gamma}_{031}\\ =&-( (\operatorname{rot}D)_k+\partial_0H_k)\hat{\gamma}_k -(\operatorname{div}D)\hat{\gamma}_{123} +\epsilon_{jkl}( (\operatorname{rot}H)_j-\partial_0D_j)\hat{\gamma}_{0kl},\\\\ F^*\partial=&( (\operatorname{rot}D)_j+\partial_0H_j)\hat{\gamma}_j -(\operatorname{div}D)\hat{\gamma}_{123}+\epsilon_{jkl}( (\operatorname{rot}H)_j-\partial_0D_j)\hat{\gamma}_{0kl},\end{align}

マクスウェル方程式を使えば，

\begin{align} \partial\wedge F^*=&-( (\operatorname{rot}D)_k+\partial_0H_k)\hat{\gamma}_k,\tag{8}\\\\ \partial\cdot F^*=& -(\operatorname{div}D)\hat{\gamma}_{123} +\epsilon_{jkl}( (\operatorname{rot}H)_j-\partial_0D_j)\hat{\gamma}_{0kl}\\ =& -\rho\hat{\gamma}_{123} +\epsilon_{jkl}J_j\hat{\gamma}_{0kl}.\end{align}

\partial\cdot F^* の方にちゃんと \rho,J が（\hat{\gamma} の3次の係数として）出てくることが確認できた．■

連続の式

式(7)の量を J:=\partial\cdot F^* とおいて微分すると，

\begin{align}\partial\cdot J&=(\partial_0J_1+\partial_1\rho)\hat{\gamma}_{23}+(\partial_0J_2+\partial_2\rho)\hat{\gamma}_{31}+(\partial_0J_3+\partial_3\rho)\hat{\gamma}_{12},\\\\ \partial\wedge J&=-(\partial_0\rho+\partial_1J_1+\partial_2J_2+\partial_2J_2)\hat{\gamma}_{123}.\end{align}

2本目の式が連続の式を表し，\partial\wedge J=0 となることが分かる．

ローレンツ力

符号とかの整合性がなくなってるかもだが，

\begin{align}F&=E_k\hat{\gamma}_{0k}+\epsilon_{jkl}B_j\hat{\gamma}_{kl},\\ J&=\rho\hat{\gamma}_{123} +\epsilon_{jkl}J_j\hat{\gamma}_{0kl}\end{align}
のとき，これらの積は
\begin{align}J\cdot F&= -J_kB_k\hat{\gamma}_0 +(-\rho B_1 +J_2E_3-J_3E_2)\hat{\gamma}_1 +\cdots,\\\\ J\wedge F&= J_kE_k\hat{\gamma}_{123} +(\rho E_1 +J_2B_3-J_3B_2)\hat{\gamma}_{023} +\cdots.\end{align}

J\wedge F の第2項以降でローレンツ力 \rho E+J\times B が表せている．

微分形式だとローレンツ力は表せない*9が，この形式だとできるんだな．

まとめ：電磁界曼荼羅


今後の課題

感想

  • 今回は \hat{\gamma} と表記したが，一般にはこれはガンマ行列 \gamma である．
    ガンマ行列といえば，たとえばガンマ行列 - Wikipediaとかディラック場の準備 - EMANの素粒子論とかにあるように，素粒子論のすごい難しい話の中で使われるものだと思っていたけど，こんな基礎的な話の中でも使えるのだなあ．
    まあミンコフスキー計量を（計量テンソル以外の方法で）表す方法なのだからそういうこともあるのかもしれないが．
  • 今回のような代数と微分形式を比較
    • 代数の方のメリット
    • 微分形式の方のメリット
      • 電磁気学はこっちで表す方が楽ちん．
      • 微分が全部 \mathrm{d} になり，くさび積とドット積の使い分けでややこしい思いをしなくて済む．

　なんか，両者の良い所取りをした表記法があればいいなあ．

追記

こういうのを時空代数というらしい．へえ～．

〈cf.〉

マクスウェル応力

マクスウェル応力テンソルの作り方をcopilotに訊いてみた．

\displaystyle T_{\mu\nu}=\hat{\gamma}_\mu\cdot(-\frac{1}{2}F \hat{\gamma}_\nu F)
だそうだ．
もう少し一般的にすると，任意の4元ベクトル u=u^\mu \hat{\gamma}_\mu, v=v^\mu\hat{\gamma}_\mu に対して，u\cdot(-\frac{1}{2}F v F) と従来のテンソル表現 T_{\mu\nu}u^\mu v^\nu が一致するということ．
あるいは -\frac{1}{2}F v F と T_{\mu\nu}v^\nu が対応すると言ってもいい．
エクセルで検算すると確かに合ってる．

copilotによると，2つ目の F が実はwikipediaが言うところの反転変換 F^\dagger=-F らしい．
しかし理屈がまださっぱり分からんなあ．

*1:変換式の形からして，明らかにリー群の随伴表現の話が関係してるんだけど，まだよく理解してないんだよな．

*2:本当は添え字の上付き下付きの区別もあるようだが，省略して全部下付きで書くことにする．この横着がどこかで不具合を起こさなければいいが．．．

*3:\gamma_{0j} はパウリ行列 \sigma_j とも呼ばれる．

*4:こういうのを多元環と言う，で合ってる．．．？

*5:微分形式的には1-formであることからの連想．

*6:式(6)の \hat{\gamma}_{0k} や \hat{\gamma}_{kl} は本当はくさび積で \hat{\gamma}_k\wedge\hat{\gamma}_l 等と書いた方が良いっぽい．

*7:文献によっては A\underset{\leftarrow}{\partial}:=\partial A などと表記されるようだが，慣れてないため読みにくい．

*8:一方 \partial\wedge F の式の方で E\mapsto D,\ B\mapsto H に書き換えてマクスウェル方程式を使えば

\partial\wedge F=-\rho\hat{\gamma}_0 +J_k\hat{\gamma}_k
となり，\rho,J が一応出てくる．でも脈絡なく E\mapsto D,\ B\mapsto H と変換したり，\rho,J って微分形式なら3-formなのにここで \hat{\gamma} の1次になったりしてるのがちょっと気に入らない．

*9:少なくとも表すのは無茶苦茶大変そう．
北野正雄，テンソル値微分形式による電磁気の２乗量の再解釈―電磁界曼荼羅の完成を目指して