wetchのブログ

他人に見られることを想定していない書き散らかし独習ノート．物理学とかVBAとか．

減衰振動と拡大配位空間

解析力学

減衰振動で遊ぶ．遊ぶだけなので新しい知見など期待しないこと．

参考文献

普通の配位空間

ラグランジュ形式\{x,\dot{x},t\}

Wikipediaに載ってたラグランジアンから始める：*1

\displaystyle L(x,\dot{x},t)=\frac{m}{2}(\dot{x}^2-\omega^2x^2)e^{2\gamma t}\quad \sim[\mathrm{J}].\tag{1.1}

ここで定数パラメータ\omega\sim[\mathrm{s}^{-1}]は固有角振動数，\gamma\sim[\mathrm{s}^{-1}]は減衰の強さを表している．

ここから運動量は

\displaystyle p:=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m\dot{x}e^{2\gamma t}\quad\sim[\mathrm{kg\ m/s}].\tag{1.2}

運動方程式は
\begin{align} 0 &= \dot{p}-\frac{\partial L}{\partial x}\\ \therefore\quad 0&= \ddot{x}+2\gamma\dot{x} + \omega^2x\end{align}\tag{1.3}

と分かる．

エネルギー収支式： v:=\dot{x}として運動方程式(1.3)の両辺にmvをかけると

\begin{align} 0&=mv\dot{v}+2m\gamma v^2+m\omega^2x\dot{x}\\ &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{m}{2}v^2+\frac{m}{2}\omega^2x^2\right)+2m\gamma v^2 \quad\sim[\mathrm{J/s}].\end{align}

よってK:=mv^2/2,\ U:=m\omega^2x^2/2\sim[\mathrm{J}]とすれば \displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(K+U)=-4\gamma K \quad\sim[\mathrm{J/s}].\tag{1.4}
これは左辺が全エネルギー変化，右辺がエネルギーの減衰となり式全体としてはエネルギー収支を表す．

ハミルトン形式\{x,p,t\}

ハミルトニアンは

\begin{align} H(x,p,t)&:=p\dot{x}-L\\ &=\frac{p^2}{2m}e^{-2\gamma t}+\frac{m}{2}\omega^2x^2e^{2\gamma t} \quad\sim[\mathrm{J}].\end{align}\tag{1.5}

正準方程式は

\begin{align} \dot{p}&=-\frac{\partial H}{\partial x}=-m\omega^2 xe^{2\gamma t} \quad\sim[\mathrm{N}],\\ \dot{x}&=\frac{\partial H}{\partial p}=\frac{p}{m}e^{-2\gamma t} \quad\sim[\mathrm{m/s}],\\ \therefore\quad \ddot{x}&=-\omega^2 x - 2\gamma \dot{x}.\tag{1.6} \end{align}

運動方程式(1.3)が当然出てくる．

（以下，未完成）微分形式

作用積分Sの積分する前の量が，最小作用の原理よりゼロなので

0=\delta S=L\mathrm{d}t=p\mathrm{d}x-H\mathrm{d}t.

これを微分すると
\begin{align}0 &=\mathrm{d}L\wedge\mathrm{d}t\\ &=\mathrm{d}p\wedge\mathrm{d}x-\mathrm{d}H\wedge\mathrm{d}t\\ &=\left(\mathrm{d}p-\frac{\partial L}{\partial x}\mathrm{d}t\right)\wedge(\mathrm{d}x-\dot{x}\mathrm{d}t) \end{align}

または
\begin{align}0 &=\mathrm{d}p\wedge\mathrm{d}x - \mathrm{d}H\wedge\mathrm{d}t\\ &=\left(\mathrm{d}p+\frac{\partial H}{\partial x}\mathrm{d}t\right)\wedge\left(\mathrm{d}x-\frac{\partial H}{\partial p}\mathrm{d}t\right) \end{align}

正準変換

ハミルトン形式\{X,P,t\}

母関数

W(x,P,t):=xPe^{\gamma t} \quad\sim[\mathrm{Js}]\tag{2.1}

を使って正準変換する．位置と運動量は
\begin{align} X&=\frac{\partial W}{\partial P}=xe^{\gamma t} \quad\sim[\mathrm{m}],\\ p&=\frac{\partial W}{\partial x}=Pe^{\gamma t} \quad\sim[\mathrm{kg\ m/s}],\end{align}\tag{2.2}

またハミルトニアンは
\displaystyle K(X,P) = \frac{P^2}{2m}+\frac{m}{2}\omega^2X^2+\gamma XP\quad\sim[\mathrm{J}] \tag{2.3}

と変換される．

正準方程式は

\begin{align} \dot{P}&=-\frac{\partial K}{\partial X}=-m\omega^2 X-\gamma P \quad\sim[\mathrm{N}],\\ \dot{X}&=\frac{\partial K}{\partial P}=\frac{p}{m}+\gamma X \quad\sim[\mathrm{m/s}],\\ \therefore\quad \ddot{X}&=-(\omega^2 -\gamma^2) X \tag{2.4} \end{align}

と単振動になる．

ラグランジュ形式\{X,\dot{X},t\}

ハミルトニアンを逆ルジャンドル変換してラグランジアンにすると

\displaystyle L(X,\dot{X},t)=\frac{m}{2}\left\{\dot{X}^2-2\gamma X\dot{X}-(\omega^2-\gamma^2)X^2\right\}\quad\sim[\mathrm{J}].\tag{2.5}

∵Pと\dot{X}の関係を調べると
\begin{align} \dot{X}&=\frac{\partial K}{\partial P}=\frac{P}{m}+\gamma X,\\\therefore\quad P&=m(\dot{X}-\gamma X)\end{align}

だから
\begin{align}L(X,\dot{X},t) &=P\dot{X}-K\\ &=m(\dot{X}-\gamma X)\dot{X} - \frac{m^2(\dot{X}-\gamma X)^2}{2m}-\frac{m}{2}\omega^2X^2-m\gamma X(\dot{X}-\gamma X)\\ &=\frac{m}{2}\left\{\dot{X}^2-2\gamma X\dot{X}-(\omega^2-\gamma^2)X^2\right\}.\end{align}
■

逆にここから運動量を求めなおすと

\displaystyle P=m(\dot{X}-\gamma X) \quad\sim[\mathrm{kg\ m/s}].\tag{2.6}

運動方程式は

\begin{align}&\dot{P}-\frac{\partial L}{\partial X}=0,\\ \therefore\quad & \ddot{X}+(\omega^2-\gamma^2)X=0.\tag{2.7}\end{align}

拡大配位空間

ラグランジュ形式\{x,x',t,t'\}

tをxと同じく単なる運動の自由度であると見做し，新しい時間座標\tau\sim[\mathrm{\tau}]を使う*2*3．新しいラグランジアン \tilde{L} は作用積分が変わらない： \int L\mathrm{d}t=\int \tilde{L}\mathrm{d}\tau が成り立つように，

\begin{align}\tilde{L}(x,x',t,t')&:=t'L(x,\frac{x'}{t'},t)\\ &=t'\frac{m}{2}\left(\frac{x'^2}{t'^2}-\omega^2x^2\right)e^{2\gamma t}\quad \sim[\mathrm{Js/\tau}] \end{align}\tag{3.1}

と定義する．ここで\prime:=\mathrm{d}/\mathrm{d}\tau.

運動量はp_x,p_tの2成分になって

\begin{align} p_x&:=\frac{\partial \tilde{L}(x,x',t,t')}{\partial x'} = \left.\frac{\partial L(x,\dot{x},t)}{\partial \dot{x}}\right|_{\dot{x}=x'/t'}\\ &= m\frac{x'}{t'}e^{2\gamma t} & \sim[\mathrm{Ns}],\\ p_t&:=\frac{\partial \tilde{L}(x,x',t,t')}{\partial t'}\\ &= \left.L(x,\dot{x},t)-\frac{x'}{t'}\frac{\partial L(x,\dot{x},t)}{\partial \dot{x}}\right|_{\dot{x}=x'/t'} = -H\\ &= -\frac{m}{2}\left(\frac{x'^2}{t'^2}+\omega^2x^2\right)e^{2\gamma t} & \sim[\mathrm{J}]. \end{align}\tag{3.2}

運動方程式のx成分は

\begin{align} 0&=p_x'-\frac{\partial \tilde{L}(x,x',t,t')}{\partial x} = \left.t'\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L(x,\dot{x},t)}{\partial \dot{x}}-\frac{\partial L(x,\dot{x},t)}{\partial x}\right)\right|_{\dot{x}=x'/t'}\\ &=m\left\{\left(\frac{x'}{t'}\right)' + 2\gamma\frac{x'}{t'}t' + \omega^2xt'\right\}e^{2\gamma t}, \\ \therefore\quad 0&=\frac{1}{t'}\left(\frac{x'}{t'}\right)'+2\gamma \left(\frac{x'}{t'}\right) + \omega^2x\\ &=\ddot{x} + 2\gamma\dot{x} + \omega^2x. \tag{3.3}\end{align}

上式にはx'/t'=\mathrm{d}x/\mathrm{d}t=\dot{x}を使った．これは運動方程式(1.3)に対応する．

t成分は

\begin{align} 0&=p_t'-\frac{\partial \tilde{L}(x,x',t,t')}{\partial t}\\ &= t'\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(L(x,\dot{x},t)-\dot{x}p)-\frac{\partial L(x,\dot{x},t)}{\partial t}\right)\\ &=\frac{m}{2}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}\left\{\frac{\mathrm{d}(\dot{x}^2)}{\mathrm{d}t} + 4\gamma \dot{x}^2 + \omega^2\frac{\mathrm{d}(x^2)}{\mathrm{d}t}\right\} \quad\sim[\mathrm{J/\tau}]. \end{align}\tag{3.4}

この式はK:=m\dot{x}^2/2, U:=m\omega^2x^2/2と置くと
\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(K+U)=-4\gamma K \quad\sim[\mathrm{J/s}]

とエネルギー収支式(1.4)と同じになる．

ハミルトン形式\{x,p_x,t,p_t\}

ハミルトニアンを計算すると\tilde{H}=0になる．．．？

∵
\begin{align} \tilde{H}&:=p_xx'+p_tt'-\tilde{L}\\ &=m\frac{x'^2}{t'}e^{2\gamma t} - \frac{m}{2}\left(\frac{x'^2}{t'}+\omega^2x^2\right)e^{2\gamma t} - t'\frac{m}{2}\left\{\frac{x'^2}{t'^2}-\omega^2x^2\right\}e^{2\gamma t}\\ &=0.\quad \blacksquare\end{align}

ああそうか，これはゼロでいいんだ．\tilde Lはt',x'について1次同次なので，その両方でルジャンドル変換したらゼロになるんだ．熱力学で言うギブス・デュエムの式みたいなもんだ．

正準方程式は\tilde{H}=0より

\begin{align}p_x'&=0,& x'&=0,\\ p_t'&=0,& t'&=0\end{align}

になるように思うが，解としてt=\mathrm{const.}とか明らかにおかしいので，こういう場合（ラグランジアン\tilde{L}(x,x',t,t')がx',t'について1次同次で，\tilde{H}=0）は正準方程式を考えてはいけないのだろう．

（以下，未完成）

（ラウス形式\{x,x',t,p_t\}）
ルジャンドル変換をtだけ行うことにする．

\begin{align}\tilde{R}(x,x',t,p_t) &:=p_tt'-\tilde{L}\\ &=... \end{align}

で，xについてはラグランジュの運動方程式を，tについては正準方程式を考えてみる．
（以下未計算）

拡大配位空間を正準変換

ラグランジュ形式\{X,X',T,T'\}

母関数

W(x,t,P_X,P_T)=xP_Xe^{\gamma t}+tP_T \quad\sim[\mathrm{Js}]\tag{4.1}

を用いて\tilde{L}を
\begin{align} X=\frac{\partial W}{\partial P_X}&=xe^{\gamma t} &\sim[\mathrm{m}],\tag{4.2}\\ T=\frac{\partial W}{\partial P_T}&=t &\sim[\mathrm{s}],\tag{4.3}\\ p_x=\frac{\partial W}{\partial x}&=P_Xe^{\gamma t} &\sim[\mathrm{Js/m}], \tag{4.4}\\ p_t=\frac{\partial W}{\partial t}&=P_T+\gamma xP_Xe^{\gamma t} &\sim[\mathrm{J}] \tag{4.5} \end{align}

と正準変換すると*4
\begin{align}\tilde{L}(X,X',T,T') &=\frac{m}{2}T'\left\{\frac{X'^2}{T'^2}-2\gamma X\frac{X'}{T'}-(\omega^2-\gamma^2)X^2\right\}\\ &=T'L\left(X,\frac{X'}{T'},T\right) \quad\sim[\mathrm{Js/\tau}]. \end{align}\tag{4.6}

∵式(4.6)の\tilde{L}(X,T,X',T')に対して
\begin{align}X&=xe^{\gamma t},\\X'&=(x'+\gamma xt')e^{\gamma t},\\T'&=t'\end{align}

と変数変換すると式(3.1)と同じになること，および式(3.2)の運動量p_x, p_tの変換が
\begin{align} P_X=\frac{\partial \tilde{L}}{\partial X'}&=m\left(\frac{X'}{T'}-\gamma X\right)\\&=m\frac{x'}{t'}e^{\gamma t}=p_x e^{-\gamma t},\\ P_T=\frac{\partial \tilde{L}}{\partial T'}&=\frac{m}{2}\left(-\frac{X'^2}{T'^2}+(\gamma^2-\omega^2)X^2\right),\\&=\frac{m}{2}\left(-\frac{x'^2}{t'^2}-2\gamma x\frac{x'}{t'}-\omega^2x^2\right)e^{2\gamma t}=p_t-\gamma xp_x.　\end{align}

であること，これらを成立させる正準変換を試行錯誤で探すと式(4.1)のように母関数が見つかる．■

検算として，一般の正準変換で成り立つ

\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}p_x+\mathrm{d}t\wedge\mathrm{d}p_t=\mathrm{d}X\wedge\mathrm{d}P_X+\mathrm{d}T\wedge\mathrm{d}P_T \quad\sim[\mathrm{Js}] \tag{4.7}

がここでも成り立つことが確認できる．*5
∵式(4.2)-(4.5)を代入してばらせば
\begin{align} \mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}p_x &=\mathrm{d}(Xe^{-\gamma T})\wedge\mathrm{d}(P_Xe^{\gamma T})\\ &=(e^{-\gamma T}\mathrm{d}X-\gamma Xe^{-\gamma T}\mathrm{d}T)\wedge(e^{\gamma T}\mathrm{d}P_X+\gamma P_Xe^{\gamma T}\mathrm{d}T)\\ &=\mathrm{d}X\wedge\mathrm{d}P_X+\gamma(P_X\mathrm{d}X+X\mathrm{d}P_X)\wedge\mathrm{d}T,\end{align}

\begin{align}\mathrm{d}t\wedge\mathrm{d}p_t &=\mathrm{d}T\wedge\mathrm{d}(P_T+\gamma (Xe^{-\gamma T})P_Xe^{\gamma T})\\ &=\mathrm{d}T\wedge\mathrm{d}P_T+\gamma \mathrm{d}T\wedge(P_X\mathrm{d}X+X\mathrm{d}P_X).\end{align}

この2式を足せばいい．■

運動量を\tilde{L}の微分でも求めておく．

\begin{align} P_X&=\frac{\partial \tilde{L}}{\partial X'}=m\left(\frac{X'}{T'}-\gamma X\right)=p_xe^{-\gamma t},\\ P_T&=\frac{\partial \tilde{L}}{\partial T'}=-\frac{m}{2}\left\{\frac{X'^2}{T'^2}+(\omega^2-\gamma^2)X^2\right\}=p_t-\gamma xp_x. \end{align}\tag{4.8}

この\tilde{L}を使うと運動方程式のx成分は

\displaystyle \frac{1}{T'}\left(\frac{X'}{T'}\right)'+(\omega^2-\gamma^2)X=0\tag{4.9}

で\tau微分をt微分に直せばこれは単振動の運動方程式(2.4), (2.7)である．
t成分は\partial\tilde{L}/\partial T=0より
\displaystyle 0=P_T'=-\frac{m}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\left\{\frac{X'^2}{T'^2}+(\omega^2-\gamma^2)X^2\right\}\tag{4.10}

という単振動のエネルギー保存則になる．

ハミルトン形式X,P_X,T,P_T

ハミルトニアン自体は正準変換前と同じくH=0.

正準変換後について，拡大後の運動量のT成分は，拡大前のハミルトニアン(2.3)になる：

P_T=-K(X,P_X).\tag{4.11}

∵式(4.4),(4.5)を変形していくと，
\begin{align}P_T &=p_t-\gamma x(p_x e^{-\gamma t})e^{\gamma t} & \text{from (4.4), (4.5)}\\ &=-\frac{m}{2}\left(\frac{x'^2}{t'^2}+\omega^2x^2\right)e^{2\gamma t}-\gamma x\left(m\frac{x'}{t'}e^{2\gamma t}\right) & \text{from (3.2)}\\ &=-\frac{m}{2}\left(\frac{x'^2}{t'^2}+2\gamma x\frac{x'}{t'}+\omega^2x^2\right)e^{2\gamma t}\\ &=-\frac{m}{2}\left(\dot{x}^2+2\gamma x\dot{x}+\omega^2x^2\right)e^{2\gamma t}\\ &=-\frac{1}{2m}(m\dot{x}e^{\gamma t})^2 - \gamma (xe^{\gamma t})(m\dot{x}e^{\gamma t}) - \frac{m}{2}\omega^2(xe^{\gamma t})^2\\ &=-\frac{1}{2m}(m\frac{x'}{t'}e^{\gamma t})^2 - \gamma X(m\frac{x'}{t'}e^{\gamma t}) - \frac{m}{2}\omega^2X^2 & \text{from (4.2)}\\ &=-\frac{P_X^2}{2m} - \gamma XP_X - \frac{m}{2}\omega^2X^2 & \text{from (3.2),(4.4)}\\ &=-K(X,P_X).\quad\blacksquare & \text{from (2.3)} \end{align}

Tに共役なP_TがTによらないことがすなわちP_Tが保存量であることを意味する，ってことでいいのかな？

（以下、未完成）

正準方程式は？
式(4.8)を微分して0と置く．

追記

山本，中村，解析力学2 (朝倉物理学大系)，p.531に拡大空間でのラグランジアンについての答えが書いてあって．
\tilde{H}=0というのはp_t+H(x,p,t)=0という拘束のある系を表すということだが．．．
しかし拘束系の扱いが難しすぎんか？

*1:\sim[\mathrm{J}]はこの式がエネルギーの次元を持つことを表す．以下同様に\simとSI単位で各式の次元を表す．検算の一助にするため．

*2:\tauは勝手に導入した変数なので明らかな次元を持たない．のでこう書くことにする．

*3:\tauという非物理的な量が気持ち悪い場合は，\tau微分が出てくる式に\mathrm{d}\tauをかけて，たとえばx'\mapsto\mathrm{d}x,t'\mapsto\mathrm{d}tという微分形式で考えればいいと思う．ただし2階微分の変形が難しくなるけど．

*4:配位空間を拡大してから正準変換するのと、正準変換してから配位空間を拡大するのが同じになることを一般的に示せるだろうか？

*5:\mathrm{d}\tilde{L}とも比較しておかないと．