wetchのブログ

他人に見られることを想定していない書き散らかし独習ノート．物理学とかVBAとか．

電磁気学を逆順に理解する

電磁気学

1. まず時空t,\boldsymbol{x}ははじめからそこにある．
2. そこに電荷・電流密度\rho,\boldsymbol{j}が存在したとする．これらは次の連続の式を満たす．
　　\frac{\partial\rho}{\partial t} +\nabla\cdot\boldsymbol{j} = 0
3. するとポテンシャル\phi,\boldsymbol{A}が次の波動方程式に従って生じる．
　　\begin{align} \left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t^2}-\nabla^2\right)\phi &= \frac{\lambda}{\epsilon}\rho, \\ \left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t^2}-\nabla^2\right)\boldsymbol{A} &= \frac{\lambda}{\epsilon}\frac{\gamma}{c}\boldsymbol{j} \end{align}
（ただしここではローレンスゲージ
　　\frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t} + \frac{1}{γ}\nabla\cdot\boldsymbol{A} = 0
を適用している．）
4. このポテンシャルによって電磁場\boldsymbol{E},\boldsymbol{B}が生じる．
　　\begin{align}\boldsymbol{E} &= -\nabla \phi - \frac{1}{\gamma}\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}, \\ \boldsymbol{B} &= \nabla\times\boldsymbol{A}\end{align}
この電磁場は次の式を満たすことがここまでの流れから示せる．
　　\begin{align} &\nabla\times\boldsymbol{E} + \frac{1}{\gamma}\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} = \boldsymbol{0}, \\ &\nabla\cdot\boldsymbol{B} = 0\end{align}
5. この電磁場に点電荷qを置いた時，ローレンツ力\boldsymbol{F}が次のようにはたらく．
　　\boldsymbol{F}= q(\boldsymbol{E} + \boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})


ポテンシャルを使わない場合は3. 4. を以下に置き換える．
3. 電荷・電流密度\rho,\boldsymbol{j}から生じる電束・磁束密度\boldsymbol{D},\boldsymbol{H}は次の式で決まる．
　　\begin{align} &\nabla\cdot\boldsymbol{D} = λρ, \\ &\nabla\times\boldsymbol{H} - \frac{1}{\gamma}\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t} = \frac{λ}{γ}\boldsymbol{j} \end{align}
4. \boldsymbol{D},\boldsymbol{H}から電磁場\boldsymbol{E}=\boldsymbol{D}/\epsilon_0,\boldsymbol{B}=\mu_0\boldsymbol{H}が生じる．この電磁場は次の式を満たすことがここまでの流れから示せる．
　　\begin{align} &\nabla\times\boldsymbol{E} + \frac{1}{\gamma}\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t} = \boldsymbol{0}, \\ &\nabla\cdot\boldsymbol{B} = 0 \end{align}