電磁気学の単位系 (2) - wetchのブログ

あれからゴチャゴチャいじっている内に比較的すっきりしたのができたので書き残しておこうと思う．

5元系

表記は前回同様電磁気量の単位系 - Wikipedia に倣う．最初にまとめて書いとこう．

マクスウェル方程式

　　 $\begin{align} \operatorname{div}D &=\lambda \rho,& \operatorname{rot}H - \frac{1}{\gamma}\frac{\partial D}{\partial t}&=\frac{\lambda}{\gamma} j,\\ \operatorname{div}B &=0,& \operatorname{rot}E +\frac{1}{\gamma}\frac{\partial B}{\partial t}&=0 \end{align}$

構成方程式

　　 $D =\epsilon_0 E ,\quad H =B/\mu_0$

ポテンシャル

　　 $\begin{align} E &=-\operatorname{grad}\phi -\frac{1}{\gamma} \frac{\partial A}{\partial t},\\ B &=\operatorname{rot}A \end{align}$

ローレンツ力

　Wikipediaとはここだけ違ってて， $\kappa$ という係数が入ってるのに注意．
　　 $F =\kappa (\rho E +\frac{1}{\gamma} j\times B)$

次元として電荷（または電束） $\mathsf{C}=[\mathrm{C}]$ ，磁荷（または磁束） $\mathsf{\Gamma}=[\mathrm{Wb}]$ ，エネルギ $\mathsf{E}=[\mathrm{J}]$ ，長さ $\mathsf{L}=[\mathrm{m}]$ および時間 $\mathsf{T}=[\mathrm{s}]$ の5つを使う．
なぜ磁荷を入れるのかと言うと，非相対論的の範囲では長さ $\mathsf{L}$ と時間 $\mathsf{T}$ が区別されるのと同様，電気と磁気は別々に見えるから．

で，各変数の次元を以下のようにする．（多分計算間違いしてないと思うけど）

電場・磁場関係

　　 $\begin{align} [E]&=\mathsf{C}^{-1} \mathsf{L}^{-1}\mathsf{T}^{-1}=\left[\frac{1}{\mathrm{C\cdot m\cdot s}}\right],\\ [B]&=\mathsf{\Gamma} \mathsf{L}^{-2} =[\mathrm{Wb/m^2}],\\ [D]&=\mathsf{C} \mathsf{L}^{-2} =[\mathrm{C/m^2}],\\ [H]&=\mathsf{\Gamma}^{-1}\mathsf{L}^{-1}\mathsf{T}^{-1}=\left[\frac{1}{\mathrm{Wb\cdot m\cdot s}}\right] \end{align}$

ポテンシャル

　　 $\begin{align}[\phi]&=\mathsf{C}^{-1}\mathsf{T}^{-1}=\left[\frac{1}{\mathrm{C\cdot s}}\right],\\ [A]&=\mathsf{\Gamma}\mathsf{L}^{-1}=[\mathrm{Wb/m}]\end{align}$

定数類

　　 $\begin{align} [\epsilon_0]&=\mathsf{C}^2\mathsf{L}^{-1}\mathsf{T}=[\mathrm{C^2\cdot s/m}],\\ [\mu_0]&=\mathsf{\Gamma}^2\mathsf{L}^{-1}\mathsf{T}=[\mathrm{Wb^2\cdot s/m}],\\ [\gamma]&=\mathsf{C\Gamma}=[\mathrm{C\cdot Wb}],\\ [\kappa]&=\mathsf{ET}=[\mathrm{J\cdot s}] \end{align}$

残りのものは通常と同じ考え方でいい．

電荷・電流密度

　　 $\begin{align}[\rho]&=\mathsf{C}\mathsf{L}^{-3}=[\mathrm{C/m^3}],\\ [j]&=\mathsf{C}\mathsf{L}^{-2}\mathsf{T}^{-1}=\left[\mathrm{\frac{C}{m^2\cdot s}}\right]\end{align}$

　　 $[F]=\mathsf{EL}^{-1}=[\mathrm{J/m}]$

ついでだけど，リアクタンス $L$ ，抵抗 $R$ ，キャパシタンスの逆数 $1/C$ をこれに合わせて書くとこうなる*1：
　　 $[L]=\mathsf{C}^{-2}\mathsf{T}=[\mathrm{s/C^2}],\quad [R]=\mathsf{C}^{-2}=[\mathrm{1/C^2}],\quad [1/C]=\mathsf{C}^{-2}\mathsf{T}^{-1}=[\mathrm{1/C^2 s}]$

この表記の特長．各物理量が電気に関する量なのか磁気に関する量なのかを区別することができ， $\gamma$ はそれらを結合するという役割がよくわかる．
また， $E$ と $H$ および $A$ は長さについて $\mathsf{L}^{-1}$ なので*2，空間微分するときは必ずrotだし，積分するなら線積分だし，時間微分の対象にはならない*3．一方 $B$ と $D$ および $j$ は長さについて $\mathsf{L}^{-2}$ なので*4，空間微分は必ずdiv，積分は面積分 *5，時間微分の対象になるという対応関係もつく．

3元系

相対論効果を考えると，時間 $\mathsf{T}$ は長さ $\mathsf{L}$ に統合され，磁荷 $\mathsf{\Gamma}$ は電荷 $\mathsf{C}$ に統合される．その結果，定数類は $\kappa$ 以外は全て無次元化され，他の物理量は以下のように変換されて $\mathsf{C,E,L}$ の3つの次元で表されることになる．
　　 $t'=ct,\quad [t']=\mathsf{L}=[\mathrm{m}].$

　　 $\begin{align} E'&=\epsilon_0 E,&B'&=(\epsilon_0/\mu_0)^{0.5} B,\\ D'&=D,&H'&=(\epsilon_0\mu_0)^{0.5} H, \end{align}$
　　 $[E']=[B']=[D']=[H']=\mathsf{CL}^{-2}=[\mathrm{C/m^2}].$

　　 $\phi'=\epsilon_0\phi,\quad A'=(\epsilon_0/\mu_0)^{0.5} A,$
　　 $[\phi']=[A']=\mathsf{CL}^{-1}=[\mathrm{C/m}].$

　　 $\rho'=\rho,\quad j'=j/c,$
　　 $[\rho']=[j']=\mathsf{CL}^{-3}=[\mathrm{C/m^3}].$

　　 $\kappa'=\kappa/\epsilon_0,$
　　 $[\kappa']=\mathsf{C}^{-2}\mathsf{EL}=[\mathrm{J\cdot m/C^2}].$

　　 $\begin{align}L'&=\epsilon_0c^2 L,& R'&=R/Z,& C'&=C/\epsilon_0,\\ [L']&=\mathsf{L}=[\mathrm{m}],& [R']&=1,& [C']&=\mathsf{L}^{-1}=[\mathrm{1/m}].\end{align}$

マクスウェル方程式等の基本式をもう一度書く．
　　 $\begin{align} \operatorname{div}D' &=\lambda \rho',& \operatorname{rot}H' - \frac{\partial D'}{\partial t'}&=\lambda j',\\ \operatorname{div}B' &=0,& \operatorname{rot}E' + \frac{\partial B'}{\partial t'}&=0. \end{align}$

　　 $D' =E' ,\quad H' =B'.$

　　 $\begin{align} E' &=-\operatorname{grad}\phi' - \frac{\partial A'}{\partial t'},\\ B' &=\operatorname{rot}A'. \end{align}$

　　 $F =\kappa' (\rho E' + j'\times B').$

ここからさらに $\kappa$ を無次元化することで2元系にもできるけど，そうするとガウス単位系とかで不評な $\mathsf{E}^{0.5}$ という半端な指数が出てくるので，そこまで無理することはないんじゃないかと思う．
と言うかそこまでしたいのなら，いっそ代表長さとか代表電荷スケールを決めて完全に無次元化した方がいい．