wetchのブログ

他人に見られることを想定していない書き散らかし独習ノート．物理学とかVBAとか．

理想気体の分配関数のラプラス変換

熱力学

熱力学関数のルジャンドル変換は分配関数のラプラス変換と聞いたので（ごく表面的な理解）．

次元の不一致は一旦無視することにする．

予備計算

ラプラス変換表よりt^n は \displaystyle \frac{n!}{s^{n+1}},
スターリング近似して\displaystyle =\frac{1}{s}\left(\frac{n}{es}\right)^n,
n乗の外にある部分は無視（熱力学的極限）することで\displaystyle =\left(\frac{n}{es}\right)^n.

本計算

理想気体の状態密度は

\begin{align}\Omega(E,V,N) &=\frac{2^NV^N}{h^{3N}N!}\frac{(2\pi mE)^\frac{3N}{2}}{\Gamma(3N/2)}\frac{1}{E}\\ &=\left(\frac{2eV(2\pi m)^{3/2}}{h^3N}\left(\frac{2e}{3N}\right)^{3/2}\right)^N E^{3N/2}\\ &=\left(\frac{2eV}{h^3N}\left(\frac{4\pi em}{3N}\right)^{3/2}\right)^N E^{3N/2}. \end{align}

ラプラス変換 E\rightarrow \beta すると
\begin{align} Z(\beta,V,N) &=\left(\frac{2eV}{h^3N}\left(\frac{4\pi em}{3N}\right)^{3/2}\right)^N \left(\frac{3N/2}{e\beta}\right)^{3N/2}\\ &=\left(\frac{2eV}{h^3N}\left(\frac{2\pi m}{\beta}\right)^{3/2}\right)^N .\\ \end{align}

さらにラプラス変換 V \rightarrow \pi_pすると
\begin{align} \mathcal{Z}(\beta,\pi_p,N) &=\left(\frac{2e}{h^3N}\left(\frac{2\pi m}{\beta}\right)^{3/2}\cdot\left(\frac{N}{e\pi_p}\right)\right)^N\\ &=\left(\frac{2}{h^3\pi_p}\left(\frac{2\pi m}{\beta}\right)^{3/2}\right)^N. \end{align}

さらにラプラス変換 N \rightarrow \pi_\muする．括弧の中を c=e^{nc} と置いて
\begin{align} \mathfrak{Z}(\beta,\pi_p,\pi_\mu) &=\int_0^\infty e^{N\ln c}e^{-\pi_\mu N}dN\\ &=\int_0^\infty e^{-(\pi_\mu-\ln c)N}dN\\ &=\frac{1}{\pi_\mu-\ln c},\quad \pi_\mu-\ln c>0. \end{align}

これの対数を取ると
\ln{\zeta}(\beta,\pi_p,\pi_\mu)=-\ln\left[\pi_\mu-\ln\left(\frac{2}{h^3\pi_p}\left(\frac{2\pi m}{\beta}\right)^{3/2}\right)\right].

あれ，最終的にギブスデュエムで0になるんじゃないのか？