逆関数のルジャンドル変換

定理
証明
応用例
具体例
疑問点

教科書とかWikipediaで見かけないので自分で考えてみたものをメモ．
関数 $f(x)$ に対して逆関数を $f^{-1}(x)$ ，ルジャンドル変換を $f^*(p), p=f'(x)$ と書くことにする．

定理

逆関数のルジャンドル変換は $(f^{-1})^*(p) = -pf^*(1/p).$

証明

まず記法を整理すると， $y=f(x)$ のルジャンドル変換
　 $f^*(p)=xp-y,\ p=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$
が分かっているときに，逆関数 $x=g(y):=f^{-1}(y)$ のルジャンドル変換
　 $g^*(q)=yq-x,\ q=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=1/p$
を求めたいということ．これは
　 $g^*(q)=yq-x=-q(\frac{x}{q}-y)=-q(xp-y)=-qf^*(p)=-qf^*(1/q)$
より成り立つ．

応用例

熱力学において，内部エネルギー $U(S)$ のルジャンドル変換はヘルムホルツエネルギー $F(T),$ $T=\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}S}$ である．その逆関数であるエントロピー $S(U)$ をルジャンドル変換したマシュー関数は $\Psi=-F/T$ あるいは
　 $\Psi(\beta)=-\beta F(1/\beta),\ \beta=\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}U}=1/T$
と書ける．

具体例

例1　べき関数

$f(x)=x^a$ とする。
　 $\displaystyle f^*(p)=(a-1)\left(\frac{p}{a}\right)^\frac{a}{a-1}$
だから
　 $\displaystyle -pf^*(1/p)=-\left(1-\frac{1}{a}\right)(ap)^\frac{1}{1-a}$
である。一方，逆関数は $f^{-1}(x)=x^{1/a}$ であり、
　 $\displaystyle (f^{-1})^*(p)=\left(\frac{1}{a}-1\right)(ap)^\frac{1}{1-a}$
となり一致する。

例2　指数関数

$f(x)=e^x$ とする。 $\displaystyle f^*(p)=p(\ln p-1)$ だから
　 $\displaystyle -pf^*\left(\frac{1}{p}\right)=\ln p+1$
である。一方，逆関数は $f^{-1}(x)=\ln x$ であり、
　 $\displaystyle (f^{-1})^*(p)=\ln p+1$
となり一致する。

例3：対数関数

$f(x)=\ln{x}$ とする。 $\displaystyle f^*(p)=\ln{p}+1$ だから
　 $\displaystyle -pf^*\left(\frac{1}{p}\right)=p(\ln{p}-1)$
である。一方，逆関数は $f^{-1}(x)=e^x$ であり、
　 $(f^{-1})^*(p)=p(\ln p-1)$
となり一致する。

疑問点

微分形を考えてみる．
$f$ を微分すると $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=p$ ，そのルジャンドル変換は $\frac{\mathrm{d}f^*}{\mathrm{d}p}=x$ ．
逆関数については $\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}y}=q=\frac{1}{p}$ ，そのルジャンドル変換は $\frac{\mathrm{d}g^*}{\mathrm{d}q}=\frac{\mathrm{d}g^*}{\mathrm{d}(1/p)}=x\Rightarrow\frac{\mathrm{d}g^*}{\mathrm{d}p}=-\frac{x}{p^2}$ ．