wetchのブログ

他人に見られることを想定していない書き散らかし独習ノート．物理学とかVBAとか．

共変解析力学のノート

解析力学

参考：http://physnakajima.html.xdomain.jp/CAM_rev.pdf

1自由度系

自由度が1つだけ，q(t)で表される系を考える．
ラグランジアンは1形式であり，次で表される：

\displaystyle L=\frac{m}{2}\mathrm{d}q\wedge*\mathrm{d}q-V(q).

ここで

  • \mathrm{d}q=\dot{q}\mathrm{d}t（1形式），
  • *\mathrm{d}q=\dot{q}（0形式），
  • \mathrm{d}q\wedge*\mathrm{d}q=\dot{q}^2\mathrm{d}t（1形式），
  • V=v(q)\mathrm{d}tは1形式のポテンシャル．

これを微分すると

\displaystyle p:=\frac{\partial L}{\partial \mathrm{d}q}=m*\mathrm{d}q,（0形式）
\displaystyle \frac{\partial L}{\partial q}=-\frac{\partial V}{\partial q}=-\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}q}\mathrm{d}t.（1形式）

これをラグランジュ方程式
\displaystyle \mathrm{d}\frac{\partial L}{\partial \mathrm{d}q}=\frac{\partial L}{\partial q}
に代入すると，
\begin{align} \mathrm{LHS}&=\mathrm{d}(m*\mathrm{d}q) = m\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\dot{q})\mathrm{d}t = m\ddot{q}\mathrm{d}t,\\\mathrm{RHS}&= -\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}q}\mathrm{d}t.\end{align}（1形式）

よって，普通の運動方程式
\displaystyle m\ddot{q}=-\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}q}
が出てくる．

有限自由度系

前回やった斜面上の質点とバネについて考える．座標を(x_M, x_m, y_m)\mapsto(x_1,x_2,x_3)と置き換える．
ラグランジアン1形式は

\begin{align} L =& \frac{1}{2}[\dot{x}_1,\dot{x}_2,\dot{x}_3]\begin{bmatrix}M\\ & m & m\sin\theta \\ & m\sin\theta & m\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\dot{x}_1\\\dot{x}_2\\ \dot{x}_3\end{bmatrix} \\ & -\frac{1}{2}k[x_1,x_2,x_3]\begin{bmatrix}1&-1&-\sin\theta\\-1&1&\sin\theta\\-\sin\theta&\sin\theta&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix} \\ & +g[M\sin\theta , m\sin\theta , m] \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\ y_3\end{bmatrix} \\ =: &\frac{1}{2}m_{ij}\mathrm{d}x^i\wedge*\mathrm{d}x^j -\frac{1}{2}k_{ij}x^i\wedge*x^j +g_i\wedge x^i\end{align}
と書き直せる．
微分をとると
\displaystyle \frac{\partial L}{\partial \mathrm{d}x^i}=m_{ij}*\mathrm{d}x^j,（0形式）
\displaystyle \frac{\partial L}{\partial x^i}=-k_{ij}*x^j+g_i（1形式）
なので，運動方程式は
\displaystyle m_{ij}\mathrm{d}*\mathrm{d}x^j=-k_{ij}*x^j+g_i.