wetchのブログ

他人に見られることを想定していない書き散らかし独習ノート．物理学とかVBAとか．

解析力学の練習：斜面上の，ばねでつながれた質点の運動

解析力学

解析力学の練習をする．系自体は単純なニュートン力学だが，後々にやりたいことのために2自由度以上，斜交座標系，バネを含むものとしたかったのでちょっと面倒なものを考えたい．

状況設定

  • 水平面から角度 \theta の滑らかな斜面に質点 M が乗っている．M はこの斜面上に拘束されて動く．
  • M にはバネ k を介して2つ目の質点 m がつながっている．m は別に斜面に拘束されておらず，自由に動く．
  • 鉛直下向きに重力 \vec{g} がかかっている．

この系の運動方程式を導きたい．

座標系設定

2次元の斜交座標系 \vec{x}=[x,y] で考える．

  • y=0，すなわち x 軸は斜面に沿って下向きにとる．
  • x=0，すなわち y 軸は鉛直下向きに取る．

したがって質点 M, m の座標はそれぞれ \vec{x}_M=[ x_M,0 ], \vec{x}_m=[x_m,y_m] と書ける．
重力は \vec{g}=[0,g]．

方針

ラグランジュ関数 L(x_M, x_m, y_m, \dot{x}_M, \dot{x}_m, \dot{y}_m) を運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの差として計算し，運動方程式

\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial\dot{x}_M}=\frac{\partial L}{\partial x_M},\quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial\dot{x}_m}=\frac{\partial L}{\partial x_m},\quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial\dot{y}_m}=\frac{\partial L}{\partial y_m} \tag{1}
を導く．

計算

内積公式

一般に2つのベクトル \vec{x}_1=[x_1,y_1], \vec{x}_2=[x_2,y_2]の内積は

\begin{align}\vec{x}_1\cdot\vec{x}_2&=[x_1,y_1]\begin{bmatrix}1&\sin\theta\\ \sin\theta&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_2\\ y_2\end{bmatrix}\\&=x_1x_2+y_1y_2+(x_1y_2+y_1x_2)\sin\theta.\end{align}

運動エネルギー

質点 M については \frac{1}{2}M\dot{x}_M^2.
質点 m のは

\displaystyle \frac{1}{2}m|\dot{\vec{x}}_m|^2=\frac{1}{2}m[\dot{x}_m,\dot{y}_m]\begin{bmatrix}1&\sin\theta\\ \sin\theta&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\dot{x}_m\\ \dot{y}_m\end{bmatrix}.

よってこれらの和をまとめて書くと
\displaystyle K=\frac{1}{2}[\dot{x}_M,\dot{x}_m,\dot{y}_m]\begin{bmatrix}M\\ & m & m\sin\theta \\ & m\sin\theta & m\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\dot{x}_M\\\dot{x}_m\\ \dot{y}_m\end{bmatrix}. \tag{2}

バネのポテンシャル

\begin{align}U_\mathrm{spring}&=\frac{1}{2}k|\vec{x}_m-\vec{x}_M|^2\\ &=\frac{1}{2}k[x_m-x_M,y_m] \begin{bmatrix}1&\sin\theta\\ \sin\theta&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_m-x_M\\y_m\end{bmatrix}\\ &=\frac{1}{2}k[x_M,x_m,y_m]\begin{bmatrix}-1&0\\1&0\\0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&\sin\theta\\ \sin\theta&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}-1&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_M\\x_m\\y_m\end{bmatrix}\\ &=\frac{1}{2}k[x_M,x_m,y_m]\begin{bmatrix}1&-1&-\sin\theta\\-1&1&\sin\theta\\-\sin\theta&\sin\theta&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_M\\x_m\\y_m\end{bmatrix}. \tag{3}\end{align}

重力ポテンシャル

質点 M については -M\vec{g}\cdot\vec{x}_M=-Mgx_M\sin\theta.
質点 m は

-m\vec{g}\cdot\vec{x}_m = -m[0,g] \begin{bmatrix}1&\sin\theta\\ \sin\theta&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_m\\ y_m\end{bmatrix}.

まとめると
U_\mathrm{gravity}=-g[M\sin\theta , m\sin\theta , m] \begin{bmatrix}x_M\\x_m\\ y_m\end{bmatrix}. \tag{4}

ラグランジアン

式(2)-(4)より，

\begin{align}L=&K-U_\mathrm{spring}-U_\mathrm{gravity}\\ =&\frac{1}{2}[\dot{x}_M,\dot{x}_m,\dot{y}_m]\begin{bmatrix}M\\ & m & m\sin\theta \\ & m\sin\theta & m\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\dot{x}_M\\\dot{x}_m\\ \dot{y}_m\end{bmatrix}\\ &-\frac{1}{2}k[x_M,x_m,y_m]\begin{bmatrix}1&-1&-\sin\theta\\-1&1&\sin\theta\\-\sin\theta&\sin\theta&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_M\\x_m\\y_m\end{bmatrix}\\ &+g[M\sin\theta , m\sin\theta , m] \begin{bmatrix}x_M\\x_m\\ y_m\end{bmatrix}. \tag{5}\end{align}

ラグランジアンの微分

式(5)の微分

\begin{align} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_M}&=M\dot{x}_M,\\ \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_m}&=m\dot{x}_m+m\dot{y}_m\sin\theta ,\\ \frac{\partial L}{\partial \dot{y}_m}&=m\dot{y}_m+m\dot{x}_m\sin\theta ,\\ \frac{\partial L}{\partial x_M}&=-k(x_M-x_m-y_m\sin\theta)+Mg\sin\theta,\\ \frac{\partial L}{\partial x_m}&=-k(x_m-x_M+y_m\sin\theta)+mg\sin\theta,\\ \frac{\partial L}{\partial y_m}&=-k(y_m+(x_m-x_M)\sin\theta)+mg.\end{align} \tag{6}

運動方程式

式(6)を式(1)に代入して

\begin{align} M\ddot{x}_M&=-k(x_M-x_m-y_m\sin\theta)+Mg\sin\theta, \tag{7.1}\\ m\ddot{x}_m+m\ddot{y}_m\sin\theta&=-k(x_m-x_M+y_m\sin\theta)+mg\sin\theta, \tag{7.2}\\ m\ddot{y}_m+m\ddot{x}_m\sin\theta&=-k(y_m+(x_m-x_M)\sin\theta)+mg. \tag{7.3}\end{align}

式(7.2)(7.3)は \sin\theta を掛けて足したりすることで \ddot{x}_m,\ddot{y}_m を分離できるが，ここでは省略する．