wetchのブログ

他人に見られることを想定していない書き散らかし独習ノート．物理学とかVBAとか．

共変微分とリー微分の比較

物理学・数学

共変微分\nabla_Xとリー微分L_Xのイメージがうまくつかめないので，とりあえず具体的な成分などを比較表にまとめておいて，今後考えていく予定．以下，

  • fはスカラー場，
  • X=X^i\ \partial/\partial x^i,\ Y=Y^i\ \partial/\partial x^iは反変ベクトル場，
  • \omega=\omega_i\ \mathrm{d}x^iは共変ベクトル場（微分1形式）．

また，反変ベクトル場と共変ベクトル場の内部積をi_X(\omega):=\omega_iX^iなどと書く．

共変微分 \nabla_X リー微分 L_X
日本語で定義を説明 ベクトルを別の点まで平行移動して差を取る ベクトルを別のベクトル場で流して差を取る*1
fに作用 \displaystyle \nabla_Xf=Xf=X^i\frac{\partial f}{\partial x^i} \displaystyle L_Xf=Xf=X^i\frac{\partial f}{\partial x^i}
Yに作用 \begin{align}&\nabla_XY\\&=X^j\left(\frac{\partial Y^i}{\partial x^j}\underline{+\Gamma_{jk}^iY^k}\right)\frac{\partial}{\partial x^i}\end{align} \begin{align}&L_XY=[X,Y]\\&=\left(X^j\frac{\partial Y^i}{\partial x^j}\underline{-Y^j\frac{\partial X^i}{\partial x^j}}\right)\frac{\partial}{\partial x^i}\end{align}
\omegaに作用 \begin{align}&\nabla_X\omega\\&=X^j\left(\frac{\partial\omega_i}{\partial x^j}\underline{-\Gamma_{ij}^k\omega_k}\right)\mathrm{d}x^i\end{align} \begin{align}& L_X\omega=(i_X\mathrm{d}+\mathrm{d}i_X)\omega\\&=\left(X^j\frac{\partial\omega_i}{\partial x^j}\underline{+\omega_j\frac{\partial X^j}{\partial x^i}}\right)\mathrm{d} x^i\end{align}
線形性 \begin{align}&\nabla_{X_1+X_2}Y=(\nabla_{X_1}+\nabla_{X_2})Y,\\&\nabla_X(Y_1+Y_2)=\nabla_XY_1+\nabla_XY_2,\\&\underline{\nabla_{fX}Y=f\nabla_XY}\end{align} \begin{align}&L_{X_1+X_2}Y=(L_{X_1}+L_{X_2})Y,\\&L_X(Y_1+Y_2)=L_XY_1+L_XY_2\end{align}
ライプニッツ \begin{align}&\nabla_X(fY)=(Xf+f\nabla_X)Y,\\&\underline{X\langle\omega,Y\rangle}\\&\underline{=\langle\nabla_X\omega,Y\rangle+\langle\omega,\nabla_XY\rangle}\end{align} \begin{align}&\underline{L_{(fX)}\omega=(fL_X+\mathrm{d}f\wedge i_X)\omega},\\&L_X(fY)=(Xf+fL_X)Y,\\&L_X(\omega_1\wedge\omega_2)\\&=(L_X\omega_1)\wedge\omega_2+\omega_1\wedge(L_X\omega_2)\\&L_X(\omega X)=...\end{align}
計量に 依存 独立
添字上げ下げ操作と 可換(テンソルになってる) 非可換?
外積\mathrm{d}との可換性 ? 可換

また，共変微分以外について，菅野，微分形式による解析力学，p.15によれば，k形式\omegaに対し

\displaystyle \begin{align} (\mathrm{d}\omega)(X_1,\dots,X_{k+1}) =&\ \sum_{i=1}^{k+1}(-1)^{i+1}X_i\left(\omega(X_iを除くX_1,\dots,X_{k+1})\right)\\ &+ \sum_{i\lt j}(-1)^{i+j}\omega\left([X_i,X_j],(X_i,X_jを除くX_1,\dots,X_{k+1})\right),\\ (L_X\omega)(X_1,\dots,X_k) =&\ X(\omega(X_1,\dots,X_k))\\ &- \sum_{i=1}^{k}\omega(X_1,\dots,[X,X_i],\dots,X_k),\\ (i_X\omega)(X_1,\dots,X_{k-1}) =&\ \omega(X,X_1,\dots,X_{k-1}).\end{align}

*1:お気持ちでふんわり理解するLie微分と共変微分｜あざらし