フレネルの式の勉強中

2024年のGWの成果．これもイラスト化しないとな．

参考文献
設定，前提知識
反射則，スネル則
フレネルの式
- 証明
考察
今後の課題

参考文献

設定，前提知識

物性値
- 媒質1（入射，反射側）の光速 $v_1$ ，インピーダンス $Z_1$ が既知．
- 媒質2（透過側）の光速 $v_2$ ，インピーダンス $Z_2$ が既知．
- 他の物性値：誘電率 $\varepsilon=1/vZ$ ，透磁率 $\mu=Z/v$ ，屈折率 $n=c_0/v$ （ $c_0$ は真空中光速）も媒質1, 2それぞれについて計算できるので既知．
座標系：EMANさんに合わせ定義する．
- $z$ 軸：界面の法線方向．媒質1から2へ向かう向き．
- $x$ 軸：入射面と界面の交線．入射光の $x$ 成分がプラスになる向き．
- $y$ 軸：界面に平行，入射面に垂直な方向． $(x,y,z)$ で右手系をなすような向き．
電場：入射角 , 角振動数，電場の振幅を既知とする．
- 入射光 $\boldsymbol{E}_\mathrm{i} = \boldsymbol{E}^0_\mathrm{i} e^{-i(\boldsymbol{k}_\mathrm{i} \cdot \boldsymbol{x} - \omega_\mathrm{i}t)}, \boldsymbol{k}_\mathrm{i}=k_\mathrm{i}\begin{pmatrix}\sin\theta_\mathrm{i}\\0\\\cos\theta_\mathrm{i}\end{pmatrix}, k_\mathrm{i} = \omega_\mathrm{i}/v_1.\tag{1}$
- 反射光*1 $\boldsymbol{E}_\mathrm{r} = \boldsymbol{E}^0_\mathrm{r} e^{-i(\boldsymbol{k}_\mathrm{r} \cdot \boldsymbol{x} - \omega_\mathrm{r}t)}, \boldsymbol{k}_\mathrm{r}=k_\mathrm{r}\begin{pmatrix}\sin\theta_\mathrm{r}\\0\\-\cos\theta_\mathrm{r}\end{pmatrix}, k_\mathrm{r} = \omega_\mathrm{r}/v_1.\tag{2}$
- 透過光 $\boldsymbol{E}_\mathrm{t} = \boldsymbol{E}^0_\mathrm{t} e^{-i(\boldsymbol{k}_\mathrm{t} \cdot \boldsymbol{x} - \omega_\mathrm{t}t)}, \boldsymbol{k}_\mathrm{t}=k_\mathrm{t}\begin{pmatrix}\sin\theta_\mathrm{t}\\0\\\cos\theta_\mathrm{t}\end{pmatrix}, k_\mathrm{t} = \omega_\mathrm{t}/v_2.\tag{3}$
その他の電磁場
入射・反射・透過光それぞれについて以下を計算すれば得られる．
- 磁束密度：マクスウェル方程式の $\operatorname{rot}\boldsymbol{E} + \dot{\boldsymbol{B}} = \boldsymbol{0}$ より $\boldsymbol{B} = \frac{1}{\omega} \boldsymbol{k}\times\boldsymbol{E}\tag{4}$
- 磁場 $\boldsymbol{H}=\frac{v}{Z}\boldsymbol{B} = \frac{1}{k Z} \boldsymbol{k}\times\boldsymbol{E} \tag{5}$
- 電束密度 $\boldsymbol{D} = \frac{k}{\omega Z} \boldsymbol{E}\tag{6}$

反射則，スネル則

角振動数 $\omega$ ，波数 $k$ ，角度 $\theta$ には以下の関係がある：

$\omega := \omega_\mathrm{i} = \omega_\mathrm{r} = \omega_\mathrm{t},$
$k_1:=k_i=k_r, \quad k_2:=k_t,$
$\theta_1:=\theta_\mathrm{i} = \theta_\mathrm{r}, \quad \theta_2 := \theta_\mathrm{t},$
$k_1\sin\theta_\mathrm{i} =k_2\sin\theta_\mathrm{t},$ または $\sin\theta_\mathrm{i}/v_1 =\sin\theta_\mathrm{t}/v_2.$

∵

$\boldsymbol{E}_\mathrm{i}, \boldsymbol{E}_\mathrm{r}, \boldsymbol{E}_\mathrm{t}$ に対し，マクスウェル方程式やら構成方程式やらが線形なので，それらが満たす条件も線形となる．*2その条件を任意の $\boldsymbol{x},t$ で満たそうとすると，指数関数部分の位相が常にそろっている必要がある．特に界面 $z=0$ では3つの光が共存するから $\text{For }\forall \boldsymbol{x},t,\quad \boldsymbol{k}_\mathrm{i} \cdot \boldsymbol{x} - \omega_\mathrm{i}t = \boldsymbol{k}_\mathrm{r} \cdot \boldsymbol{x} - \omega_\mathrm{r}t = \boldsymbol{k}_\mathrm{t} \cdot \boldsymbol{x} - \omega_\mathrm{t}t, \quad \text{at }z=0.$
まず $t$ の関する係数が一致するから3つの $\omega$ は一致する．
$\boldsymbol{k}$ も式(1)-(3)の成分で表して係数を一致させると上式が成り立つ．■

以降，指数関数部分は界面で同じ値をとるから表記を省略し， $\boldsymbol{E}_\mathrm{i} = \boldsymbol{E}^0_\mathrm{i}$ であるかのように書く．

フレネルの式

S偏光
- 振幅反射率 $\displaystyle \frac{E_\mathrm{r}}{E_\mathrm{i}} = -\frac{\frac{\cos\theta_\mathrm{i}}{Z_1}-\frac{\cos\theta_\mathrm{t}}{Z_2}}{\frac{\cos\theta_\mathrm{i}}{Z_1}+\frac{\cos\theta_\mathrm{t}}{Z_2}} \tag{S1}$
- 振幅透過率 $\displaystyle \frac{E_\mathrm{t}}{E_\mathrm{i}} = \frac{2\frac{\cos\theta_\mathrm{i}}{Z_1}} {\frac{\cos\theta_\mathrm{i}}{Z_1}+\frac{\cos\theta_\mathrm{t}}{Z_2}} \tag{S2}$
P偏光
- 振幅反射率
  - P偏光の反射率が 0 になる入射角がブリュースター角．
    このとき $\theta_\mathrm{r}+\theta_\mathrm{t}=\pi/2.$
- 振幅透過率 $\displaystyle \frac{E_\mathrm{t}}{E_\mathrm{i}} = \frac{Z_2}{Z_1} \frac{2Z_1\cos{\theta_\mathrm{i}}} {Z_1\cos{\theta_\mathrm{i}}+Z_2\cos{\theta_\mathrm{t}}} \tag{P2}$

証明

電磁場の振幅を成分で考えていく．電場の振幅は波数 $\boldsymbol{k}$ に直交することを踏まえて $\boldsymbol{E}_\mathrm{i} := \begin{pmatrix}E_\mathrm{ip}\cos\theta_1 \\ E_\mathrm{is} \\ -E_\mathrm{ip}\sin\theta_1\end{pmatrix}, \boldsymbol{E}_\mathrm{r} := \begin{pmatrix}-E_\mathrm{rp}\cos\theta_1 \\ E_\mathrm{rs} \\ -E_\mathrm{rp}\sin\theta_1\end{pmatrix}, \boldsymbol{E}_\mathrm{t} := \begin{pmatrix}E_\mathrm{tp}\cos\theta_2 \\ E_\mathrm{ts} \\ -E_\mathrm{tp}\sin\theta_2\end{pmatrix}.\tag{7}$ とする．

式(4)-(6)に代入し，(1)-(3)も使うと，
$\displaystyle \small{ \boldsymbol{B}_\mathrm{i} = \frac{1}{v_1}\begin{pmatrix}-E_\mathrm{is}\cos\theta_1 \\ E_\mathrm{ip} \\ E_\mathrm{is}\sin\theta_1\end{pmatrix}, \boldsymbol{B}_\mathrm{r} = \frac{1}{v_1}\begin{pmatrix} E_\mathrm{rs}\cos\theta_1 \\ E_\mathrm{rp} \\ E_\mathrm{rs}\sin\theta_1\end{pmatrix}, \boldsymbol{B}_\mathrm{t} = \frac{1}{v_2}\begin{pmatrix}-E_\mathrm{ts}\cos\theta_2 \\ E_\mathrm{tp} \\ E_\mathrm{ts}\sin\theta_2\end{pmatrix}} \tag{8}$
$\displaystyle \small{ \boldsymbol{H}_\mathrm{i} = \frac{1}{Z_1}\begin{pmatrix}-E_\mathrm{is}\cos\theta_1 \\ E_\mathrm{ip} \\ E_\mathrm{is}\sin\theta_1\end{pmatrix}, \boldsymbol{H}_\mathrm{r} = \frac{1}{Z_1}\begin{pmatrix} E_\mathrm{rs}\cos\theta_1 \\ E_\mathrm{rp} \\ E_\mathrm{rs}\sin\theta_1\end{pmatrix}, \boldsymbol{H}_\mathrm{t} = \frac{1}{Z_2}\begin{pmatrix}-E_\mathrm{ts}\cos\theta_2 \\ E_\mathrm{tp} \\ E_\mathrm{ts}\sin\theta_2\end{pmatrix}} \tag{9}$
$\displaystyle \small{ \boldsymbol{D}_\mathrm{i} = \frac{1}{v_1Z_1}\begin{pmatrix} E_\mathrm{ip}\cos\theta_1 \\ E_\mathrm{is} \\ -E_\mathrm{ip}\sin\theta_1\end{pmatrix}, \boldsymbol{D}_\mathrm{r} = \frac{1}{v_1Z_1}\begin{pmatrix}-E_\mathrm{rp}\cos\theta_1 \\ E_\mathrm{rs} \\ -E_\mathrm{rp}\sin\theta_1\end{pmatrix}, \boldsymbol{D}_\mathrm{t} = \frac{1}{v_2Z_2}\begin{pmatrix} E_\mathrm{tp}\cos\theta_2 \\ E_\mathrm{ts} \\ -E_\mathrm{tp}\sin\theta_2\end{pmatrix}}\tag{10}$

界面位置における各電磁場の連続性を考える．

電場
接線方向（ $x,y$ 成分）が連続だから $\boldsymbol{E}_{\mathrm{i},x} + \boldsymbol{E}_{\mathrm{r},x} = \boldsymbol{E}_{\mathrm{t},x},$ $\boldsymbol{E}_{\mathrm{i},y} + \boldsymbol{E}_{\mathrm{r},y} = \boldsymbol{E}_{\mathrm{t},y}.$
式(7)を代入して， $(E_\mathrm{ip} - E_\mathrm{rp})\cos\theta_1 = E_\mathrm{tp}\cos\theta_2, \tag{11}$

$E_\mathrm{is} + E_\mathrm{rs} = E_\mathrm{ts}.\tag{12}$

磁束密度
法線方向，つまり $z$ 成分が連続だから， $\boldsymbol{B}_{\mathrm{i},z} + \boldsymbol{B}_{\mathrm{r},z} = \boldsymbol{B}_{\mathrm{t},z}.$
式(8)を代入してスネル則を使えば $E_\mathrm{is}+E_\mathrm{rs} = E_\mathrm{ts}.\tag{12'}$
磁場
接線方向が連続だから， $\boldsymbol{H}_{\mathrm{i},x} + \boldsymbol{H}_{\mathrm{r},x} = \boldsymbol{H}_{\mathrm{t},x},$ $\boldsymbol{H}_{\mathrm{i},y} + \boldsymbol{H}_{\mathrm{r},y} = \boldsymbol{H}_{\mathrm{t},y}.$
式(9)を代入して， $\displaystyle \frac{E_\mathrm{is} - E_\mathrm{rs}}{Z_1}\cos\theta_1 = \frac{E_\mathrm{ts}}{Z_2}\cos\theta_2. \tag{13}$

$\displaystyle \frac{E_\mathrm{ip}+E_\mathrm{rp}}{Z_1} = \frac{E_\mathrm{tp}}{Z_2}. \tag{14}$

電束密度
法線方向が連続だから， $\boldsymbol{D}_{\mathrm{i},z} + \boldsymbol{D}_{\mathrm{r},z} = \boldsymbol{D}_{\mathrm{t},z}.$
式(10)の $z$ 成分を見て，スネル則も使うと $\displaystyle \frac{E_\mathrm{ip}+E_\mathrm{rp}}{Z_1} = \frac{E_\mathrm{tp}}{Z_2}. \tag{14'}$

式(12)(13)を $E_\mathrm{rs}, E_\mathrm{ts}$ について，式(11)(14)を $E_\mathrm{rp}, E_\mathrm{tp}$ について解けばフレネルの式が得られる．

考察

式(S1)-(P2)のままでは直観的理解はできる気がしないので，式(12)-(14)のイメージを考えようと思う．

S偏光
- 式(12)： $\boldsymbol{E}$ は $zx$ 面に平行な平面が $y$ 方向の単位長さあたりに何枚あるかを表している．式(12)は媒質1側の平面と同じだけの枚数が媒質2側にもあるという，枚数の保存則を表している．
- 式(12')： $\boldsymbol{B}$ は $zx$ 面に平行かつ光線に直交する直線で表され，媒質1側と同じだけの本数が媒質2側にもあるという，本数の保存則を表している．また，この直線は電場を表す平面の境界でもあるので，結局(12)と(12')は同じことを意味するから同じ式になる．このイメージは過去に書いたイラストが役に立つかもしれない．
- 式(13)： $\boldsymbol{H}$ は光線に平行かつ $zx$ 面に直交する平面の，それに直交する方向（光線に直交かつ $zx$ 面に平行）の単位長さあたりの枚数で表される．その枚数が入射，反射，透過で釣り合っている保存則を表している．
P偏光
式(11)(14)を $H=E/Z$ を使ってちょっと書き直す．
$(H_\mathrm{ip} - H_\mathrm{rp})\cdot Z_1\cos\theta_1 = H_\mathrm{tp}\cdot Z_2\cos\theta_2, \tag{11'}$
$H_\mathrm{ip}+H_\mathrm{rp} = H_\mathrm{tp} \tag{14''}$
こうすると， $E$ の代わりに $H$ と， $B$ の代わりに $D$ としているだけで状況としては同じことが分かる．