三角関数の直交性 - wetchのブログ

フーリエ変換、フーリエ級数、離散フーリエ変換について整理していて、三角関数の直交性をまとめておこうと思う。
具体的には内積 $\langle e^{i\omega t}|e^{-i\omega’t}\rangle$ が $\delta$ に比例するというのをそれぞれの状況に応じて書くとどうなるかということをまとめる。
以下、 $\delta_{n,n’}$ はクロネッカーデルタ、 $\delta(\omega-\omega’)$ はディラックデルタ．

離散フーリエ変換 (DFT)
- 時間、周波数ともに離散的かつ有限区間
- $\displaystyle \sum_{n=0}^{N-1}e^{-2\pi im\frac{n}{N}}e^{2\pi im’\frac{n}{N}}=N\delta_{m,m’}\quad (m,m’\in\{0,\dots,N-1\})$
フーリエ級数展開 (FS)
- 時間は連続・有限区間、周波数は離散・無限区間
- $\displaystyle \int_0^T{e^{-2\pi im\frac{t}{T}}e^{2\pi im’\frac{t}{T}} dt}=T\delta_{m,m’}\quad(m,m’\in\mathbb{N})$
離散時間フーリエ変換 (DTFT)
- 時間は離散・無限区間、周波数は連続・有限区間
- $\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-i\omega nT}e^{i\omega’nT}=(?)\cdot\delta(\omega-\omega’)\quad (\omega,\omega’\in(0,1/T))$
フーリエ変換 (FT)
- 時間、周波数ともに連続・無限区間
- $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{e^{-i\omega t}e^{i\omega’t} dt}=2\pi\delta(\omega-\omega’)\quad(\omega,\omega’\in\mathbb{R})$

(?)の部分が分からない。多分 $T$ 依存する何かだと思うが、ディラックデルタの厳密な取り扱いを理解してない・・・。