擬テンソル - wetchのブログ

軸性ベクトルとか，擬テンソルとかって難しいよね・・・

参考文献
所感
前提，用語，記号
結論を先にまとめる
個別にみていく
- ベクトル
  - 通常のベクトル
  - 擬ベクトル
- 2階テンソル
  - 通常の2階テンソル
  - 擬 2階テンソル
覚え方

参考文献

北野正雄，新版マクスウェル方程式―電磁気学のよりよい理解のために (SGC Books)，サイエンス社，2009，pp.223-230
北野正雄，電磁気学におけるパリティについてノート - masaokitano
谷村省吾，捩形式の定義・抽像・応用，http://www.phys.cs.is.nagoya-u.ac.jp/~tanimura/lectures/Tanimura_twisted-form_190802.pdf

所感

混乱の原因のひとつには，符号を決める要因が4種類あること：

受動変換か能動変換か
対象であるテンソルのそのものの変化を考えてるのか，そのテンソルの成分の変化を考えてるのか
テンソルの階数 $k$ の偶奇性はどっちか
テンソルの擬性は $p=0,1$ のどっちか

このせいで整理の仕方に工夫がいる．幸い3つ目，4つ目はパラメータ $k,p$ で表せて数式になるから何とか表形式にまとめられているけど．

もうひとつは座標軸を反転させる「受動変換」と対象であるテンソルを反転させる「能動変換」が他の文献ではごっちゃになっていることがあると思う．だけど実はテンソルの成分だけを見る限りは両者に違いはなく，また能動変換だけを考えるならば成分と対象には同じように符号が付く．したがって最初は「受動変換のときの成分」を考えていたはずが，図を書くときは「能動変換のときの対象」でイメージしてしまったりする（それでも符号の付き方が同じだから）．でもそれは本当は違ってて，「受動変換のときの対象」だけは符号の付き方が違うんだよと言われたら混乱するよね．

前提，用語，記号

空間の次元は3次元とする．
通常（の量）：擬ではない量のこと．
$k$ ：テンソルの階数
擬性 $p\in\{0,1\}$ ：通常の量なら0，擬量なら1をとるパラメータ
$dx_i$ ：基底
以下は電磁場の記号を流用して記号を割り当てる：
- $\boldsymbol{E}$ ：通常のベクトル（極性ベクトル）．つまり $k=1,p=0.$
- $\boldsymbol{H}$ ：擬ベクトル（軸性ベクトル）． $k=1,p=1.$
- $\boldsymbol{B}$ ：通常の2階テンソル． $k=2,p=0.$
- $\boldsymbol{D}$ ：擬 2階テンソル． $k=2,p=1.$
反転とは，座標系を右手系から左手系に変えること．一般の次元の場合は基底の順序を奇置換の並びに変えること．以下の2種類がある：
- 受動変換：基底を $dx_i$ から $-dx_i$ に変えること．
- 能動変換：通常のテンソルの場合は対象に $(-1)^k$ をかけること．この理由は， $k$ 階テンソルに $k$ 個のベクトルを作用させて得られるスカラーは変換によって不変だから．
- ただし擬テンソルの場合は，反転に際して対象にもマイナスが付く．これは体積要素の符号が変わるから（か？）

結論を先にまとめる

それぞれの変換をしたときの対象，成分への符号の付き方は下表．「新版マクスウェル方程式」のp.228を丸パクリ．

	対象	成分
受動変換	$(-1)^p$	$(-1)^{k+p}$
能動変換	$(-1)^{k+p}$	$(-1)^{k+p}$

個別にみていく

ここではとりあえず代数的に整理を試みたが，イラストで直観的に示したのにスハウテン図というのがある．

ベクトル

通常のベクトル $E$

変換前の $\boldsymbol{E}=E^idx_i$ に対して，

受動変換：左辺の対象は $\boldsymbol{E}$ のまま，右辺の基底を $-dx_i$ に変える．
$\boldsymbol{E}=(-E^i)(-dx_i)$ より，成分にはマイナスが付く．
能動変換：左辺の対象が $-\boldsymbol{E}$ と変わり，基底は $dx_i$ のまま．
$(-\boldsymbol{E})=(-E^i)(dx_i)$ より，成分にもマイナスが付く．

擬ベクトル $H$

変換前の $\boldsymbol{H}=H^idx_i$ に対して，

受動変換：対象が $-\boldsymbol{H}$ と変わり，基底を $-dx_i$ に変える．
$(-\boldsymbol{H})=H^i(-dx_i)$ より，成分は変化しない．
能動変換：対象は $-(-1)^1\boldsymbol{H}$ で変化せず，基底も $dx_i$ のまま．
当然成分もそのまま．

2階テンソル

通常の2階テンソル $B$

変換前の $\boldsymbol{B}=B^{ij}dx_i\wedge dx_j$ に対して，

受動変換：左辺の対象は $\boldsymbol{B}$ のまま，基底を $-dx_i$ に変える．
$\boldsymbol{B}=B^{ij}(-dx_i)\wedge(-dx_j)$ より，成分は変化しない．
能動変換：左辺の対象は $(-1)^2\boldsymbol{B}$ すなわちそのままであり，基底も $dx_i$ のまま．
当然成分も変化しない．

擬 2階テンソル $D$

変換前の $\boldsymbol{D}=D^{ij}dx_i\wedge dx_j$ に対して，

受動変換：対象が $-\boldsymbol{D}$ と変わり，基底も $-dx_i$ に変える．
$(-\boldsymbol{D})=(-D^{ij}(-dx_i)\wedge(-dx_i)$ より，成分もマイナスが付く．
能動変換：対象が $-(-1)^2\boldsymbol{D}=-\boldsymbol{D}$ と変わり，基底は $dx_i$ のまま．
$(-\boldsymbol{D})=(-D^{ij}dx_i\wedge dx_j$ より，成分もマイナスが付く．

覚え方

まずは「 $p=0$ 」のテンソルを「能動」変換した時の「成分」が， $k$ 階のときに「 $(-1)^k$ 」がつくということを覚える．これは図でも書けば直観的に理解できると思う．
$p=0$ の他のパターンをイメージしていく．まだある程度直観的に理解できる範疇．
受動，成分の場合は $(-1)^k$ のまま．
能動，対象の場合も $(-1)^k$ のまま．
受動，対象の場合， $k$ にかかわらず符号は変化しない．
$\underline{p=1}$ の場合は， $(3-k)$ 階の通常のテンソルと比較して考える（3は空間が3次元だから）．
能動，成分の場合
受動，成分の場合
能動，対象の場合
以上の3つとも $p=0$ の $(3-k)$ 階テンソルは $(-1)^{3-k}=(-1)^{k+1}$ がつくので， $\underline{p=1}$ の場合も同じように $(-1)^{k+1}$ がつく．
最後に $\underline{p=1}$ ，受動，対象の場合 $k$ にかかわらず-1がつく．これが一番，非直観的でわかりにくいと思う．