テンソルの微分 - wetchのブログ

空間は3次元とする．

勾配
回転
発散

勾配

ベクトル記法　 $\operatorname{grad}\phi=\left[\frac{\partial \phi}{\partial x},\frac{\partial \phi}{\partial y},\frac{\partial \phi}{\partial z}\right]$
テンソル記法　 $\frac{\partial }{\partial x^i}\phi$
微分形式　 $\mathrm{d}\phi.$ ここでφは0形式．

回転

ベクトル記法　 $\operatorname{rot}\boldsymbol{A}=\nabla\times\boldsymbol{A}=\left[\frac{\partial A^y}{\partial z}-\frac{\partial A^x}{\partial y}, \frac{\partial A^z}{\partial x}-\frac{\partial A^x}{\partial z}, \frac{\partial A^x}{\partial y}-\frac{\partial A^y}{\partial x}\right]$
テンソル記法　 $\displaystyle \frac{\partial }{\partial x^i} A^j - \frac{\partial }{\partial x^j} A^i = \sum_{\text{all permutation of }i,j}\sigma_{ij}\frac{\partial }{\partial x^i} A^j.$ ここでΣは添え字 $(i,j)$ と $(j,i)$ の2通りの場合で足すことを表し， $\sigma_{ij}=+1, \sigma_{ji}=-1.$ 置換の書き方が厳密ではないけど，何となくで．
微分形式　 $\mathrm{d}A.$ ここでAは1形式．

発散

ベクトル記法　 $\operatorname{div}\boldsymbol{B}=\nabla\cdot\boldsymbol{B}=\frac{\partial B^x}{\partial x}+\frac{\partial B^y}{\partial y}+\frac{\partial B^z}{\partial z}$
テンソル記法　 $B$ を1階テンソルと捉えると $\partial_i B^i.$ 一方 $B$ を2階テンソルと捉えると $\displaystyle \sum_{\text{all permutation of }i,j,k}\sigma_{ijk}\frac{\partial }{\partial x^i} B^{jk}.$ ここでΣはすべての置換（6通り）を動き，σはその置換の符号を表す．この2つの表記は $\epsilon_{ijk}$ を掛けたら相互に変換できるはず．
微分形式　 $\mathrm{d}B.$ ここでBは2形式．

発散は本来，2形式に対して取るものだからテンソル記法でも2階テンソルで表してみるとどうなるかで考えてみた．
添え字のすべての置換の和をとるという面倒な書き方なので普通避けられてしまう理由もよく分かったが，やっぱり本当はこっちの書き方のほうがいいのだろうなあ，回転と整合性もあるし．
でも本当に整合性を考えるのなら微分形式が最強．