水面の盛り上がりの高さ

本記事はWikipediaに記載済みのため没。

今回はこれを引用して遊ぶ。
http://www.nagare.or.jp/download/noauth.html?d=33-2kennkyu.pdf&dir=106

結果だけ言うと、円筒形の容器に水をなみなみに入れたときにどこまで水面は盛り上がるか、容器の上端を基準にしてその高さを $h$ とすると、
　 $\displaystyle \frac{h}{d}=\frac{\sigma}{\rho gd^2} + \sqrt{\frac{\sigma}{\rho gd^2}\left(\frac{\sigma}{\rho gd^2}+c\right)}$
となるらしい。ここで $\sigma$ ：表面張力、 $\rho$ ：密度、 $g$ ：重力、 $d$ ：容器の直径。 $c$ は状態により1,2,3のいずれかの値をとる無次元定数。

この式は容器が円筒形の時を想定してるからその直径 $d$ を代表長さとして $h$ を規格化しているようだけど、円筒じゃなくて真っすぐな容器だったらどうなるのか？
元の論文に載ってるグラフを見ると $d\to\infty$ で一定値に収束しているように見えるのだけど、この場合代表長さは何になるのか？
この辺りが気になった。

この式のままだと両辺に $d$ があって分かりにくいので、一旦 $d$ をかけて有次元にしてみる：
　 $\displaystyle h=\frac{\sigma}{\rho gd} + \sqrt{\frac{\sigma}{\rho g}\left(\frac{\sigma}{\rho gd^2}+c\right)}.$
で $d\to\infty$ とすると、
　 $\displaystyle h_\infty := \lim_{d\to\infty}h = \sqrt{\frac{\sigma}{\rho g}c}.$
これは・・・何だ？と思ってちょっと調べてみると、表面張力に関して毛管長という長さの次元を持つ物理量があるそうだ：
　エトベス数 - Wikipedia
これが代表長さになるみたい。毛管長 $l\equiv\sqrt{\sigma/\rho g}$ とすると、
　 $h_\infty = l\sqrt{c}$
とすっきりした形になる。

ということは、有限の $d$ のときも $l$ を代表長さとして表したほうがいいんじゃないか？書き直してみる。
最初の式に $d/l$ をかけて、 $l$ の定義式も使って書き変えると、
　 $\displaystyle \begin{align} \frac{h}{d}\frac{d}{l} &= \frac{d}{l}\left\{\frac{\sigma}{\rho gd^2} + \sqrt{\frac{\sigma}{\rho gd^2}\left(\frac{\sigma}{\rho gd^2}+c\right)}\right\}\\ \frac{h}{l} &= \frac{d}{l} \left\{\frac{l^2}{d^2} + \sqrt{\frac{l^2}{d^2} \left(\frac{l^2}{d^2}+c\right)}\right\}\\ &= \frac{l}{d} + \sqrt{\left(\frac{l}{d}\right)^2 + c} \end{align}$
となった。

$d$ を変数ととらえる場合はこっちのほうが分かりやすいと思う。

蛇足：
分かりやすいと言ってもこの式は割と複雑。なんでこの形で表されてるのか、元の論文を敢えて逆算してみる。
まずはルートが邪魔くさいので二乗して2次方程式の形に直す。
　 $\displaystyle \begin{align} \frac{h}{l} &=\frac{l}{d} + \sqrt{\left(\frac{l}{d}\right)^2 + c}\\ \sqrt{\left(\frac{l}{d}\right)^2 + c} &= \frac{h}{l} - \frac{l}{d}\\ \left(\frac{l}{d}\right)^2 + c &= \left(\frac{h}{l} - \frac{l}{d}\right)^2 = \left(\frac{h}{l}\right)^2 -2\left(\frac{h}{l}\right)\left(\frac{l}{d}\right) + \left(\frac{l}{d}\right)^2\\ c &= \left(\frac{h}{l}\right)^2 -2\left(\frac{h}{d}\right)\\ \end{align}$
ということで、
　 $\displaystyle \therefore \left(\frac{h}{l}\right)^2 - 2\left(\frac{h}{d}\right) - c = 0.$
ここから一部右辺に移項して、さらに $h$ で割る：
　 $\displaystyle \frac{h}{l^2} = \frac{2}{d} + \frac{c}{h}.$
毛管長 $l$ の部分を、定義式を使って元に戻す：
　 $\displaystyle \frac{\rho gh}{\sigma} = \frac{1}{d/2} + \frac{1}{h/c}$
　 $\displaystyle \therefore \Delta P = \sigma\left(\frac{1}{d/2} + \frac{1}{h/c}\right),\quad \Delta P\equiv \rho gh.$
これはヤング・ラプラスの式と言うらしい。