冷却塔の運転点を解析的に求める（求めるとは言ってない）

これまでの話の流れをぶった切って、全然違う話題。プログラミングもルジャンドル変換も飽きた。
しかも今回も解決しそうにない課題が残っている中途半端な状態で書いてみる。

モータとかポンプとか、機械にはその性能を関数で表すものがある。この場合、あるパラメータ $x$ に対して出力される性能を $y=f(x)$ で表す。これをグラフで表現したものを性能曲線という。
一方、その機械は単独で動くものではなく、必ず何か別のものにつなぐ。それも同じように $x$ に応じて負荷が $y=g(x)$ のように変化する。こっちは負荷曲線という。
で、この機械と負荷をつなぐと、2本の曲線が交わる点で運転される（運転点と呼ぶことにする）。
例としてモータなら $x$ は回転数で $y$ はトルクだし、ポンプなら $x$ は流量で $y$ は圧力だ。

通常は性能曲線、負荷曲線のどちらか（あるいは両方）が簡単な関数で書けないことが多く、数値的に求めることが多い。
で、自分が考えてる冷却塔も性能曲線は
　 $f(x)=ax^{-b}$
で表せることが多いのだけど、その代わり負荷曲線が
　 $\displaystyle g(x)=\int_\mathrm{out}^\mathrm{in}\frac{c\ \mathrm{d}t}{h_\mathrm{s}(t)-\{h_\mathrm{s}(t_0)+xc(t-t_\mathrm{out})\}}$
と陽的には表せるがめちゃくちゃ複雑な形になってしまう。ここでinとoutは機械の入口と出口、 $h_\mathrm{s}(t)$ は一応陽的に書ける関数（飽和水蒸気曲線）、 $c$ は定数。

これを何とか、近似でもいいから解析的に表したいというのが今回の希望。
さらに言えば、2本の曲線の交点である運転点が性能曲線のパラメータ $a, b$ にどう依存するのか、関数形で確認したい（これがもともとの動機）。

幸いなことに、この複雑な負荷曲線には近似式がある。
変数 $t$ を、その積分区間 [in,out] の中間の値 $t_\mathrm{m}:=(t_\mathrm{in}+t_\mathrm{out})/2$ で代表してしまうという手なんだけど、これは $h_\mathrm{s}(t)$ が滑らかな単調関数、というか結構直線に近いからまあ真ん中の値だけで近似してもいいよね、ということ。
すると、 $g(x)$ の積分の中は全部定数になるので、
　 $\displaystyle \begin{align} g(x)&\simeq\frac{c(t_\mathrm{in}-t_\mathrm{out})}{h_\mathrm{s}(t_\mathrm{m})-\{h_\mathrm{s}(t_0)+xc(t_\mathrm{m}-t_\mathrm{out})\}}\\ &=\frac{c(t_\mathrm{in}-t_\mathrm{out})}{h_\mathrm{s}(t_\mathrm{m})-h_\mathrm{s}(t_0)-xc\frac{t_\mathrm{in}-t_\mathrm{out}}{2}}\\ &=\frac{2}{\frac{2(h_\mathrm{s}(t_\mathrm{m})-h_\mathrm{s}(t_0))}{c(t_\mathrm{in}-t_\mathrm{out})}-x}\\ &=\frac{2}{\alpha-x},\quad \alpha:=\frac{2(h_\mathrm{s}(t_\mathrm{m})-h_\mathrm{s}(t_0))}{c(t_\mathrm{in}-t_\mathrm{out})} \end{align}$
と近似できる。

ここで実務的なことを言うと、性能曲線のパラメータは $0.5\lt a\lt 2,\ 0.5\lt b\lt 1$ で、負荷曲線のパラメータは $3\lt \alpha\lt 4$ くらい。
例として $a=1, b=0.7, \alpha=3.45$ でグラフを書いてみるとこんな感じ。

f:id:wetch:20190714125236p:plain — 性能曲線と負荷曲線

ここまで近似したのだから交点を解析的に出したいと思ったのだけど、性能曲線 $f(x)$ と負荷曲線 $g(x)$ を等置すると
　 $\displaystyle \begin{align} ax^{-b}&=\frac{2}{\alpha-x}\\ a(\alpha-x)&=2x^{b}\\ x^{b}+\frac{a}{2}x+\frac{a\alpha}{2}&=0 \end{align}$
となってここから先が続かない。