液膜流れのドライアウト現象の次元解析

参考文献
物理量
やりたいこと
MKSの3元系による次元解析
FMKSの4元系による次元解析
検証

参考文献

物理量

流体の物性値
- $\rho\sim\mathrm{kg/m^3}$ ：密度
- $\sigma\sim\mathrm{kg/s^2}$ ：表面張力
- $\nu\sim\mathrm{m^2/s}$ ：動粘度
液膜を流す条件
- $\Gamma\sim\mathrm{m^2/s}$ ：単位幅あたりの体積流量
- $U\sim\mathrm{m/s}$ ：液膜の平均速度
- $\delta\sim\mathrm{m}$ ：液膜の平均厚さ
$g\sim\mathrm{m/s^2}$ ：重力加速度
$\theta_A$ ：接触角

やりたいこと

以上の物理量に依存する現象を解析したい．具体的な系の説明をしなくても何か言えるか．

MKSの3元系による次元解析

次元行列を書いてみよう．次元解析 - Wikipediaで使われているやり方*1を参考に書くと，
　 $\begin{pmatrix} \cdot & \rho & \sigma & \nu & \Gamma & U & \delta & g & \theta_A \\ \mathrm{kg} & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \mathrm{m} & -3 & 0 & 2 & 2 & 1 & 1 & 1 & 0\\ \mathrm{s} & 0 & -2 & -1 & -1 & -1 & 0 & -2 & 0\end{pmatrix}$
物理量が8個，次元が3個なので5個の無次元数があるだろうと予想される．

接触角 $\theta_A$ ．
体積流量 $\Gamma$ と液膜の速度 $U$ ，膜厚 $\delta$ には $\Gamma=U\delta$ の関係があるので，無次元量を $\Pi_1:=\Gamma/U\delta$ とすると，自明に $\Pi_1=1$ ．
$\Pi_2:=3\nu\Gamma/g\delta^3$ とする．液膜が層流と仮定するとヌセルトの理論より $\delta^3=3\nu\Gamma/g$ の関係があるので $\Pi_2=1$ ．
ウェーバー数 $We:=\rho U^2\delta/\sigma$ とする．
物性値などのあまり変わらないパラメータをまとめた $Mo:=g \nu^4 \rho^3/\sigma^3$ とする．Morton number - Wikipediaという名前がついているようだ．

$\Pi_1$ は定数なので無視して，一般の場合には何らかの関数 $f$ によって $f(We, Mo, \Pi_2, \theta_A)=0$ という関係式が，液膜が層流という仮定の下では $\Pi_2$ も定数になるので $f(We, Mo, \theta_A)=0$ という関係式が成り立つと予想できる．

FMKSの4元系による次元解析

力の次元を独立と捉える．重力，粘性，表面張力が力の次元を含んでいると考え， $g\sim\mathrm{N/kg},\ \nu\sim\mathrm{N s m/kg},\ \sigma\sim\mathrm{N/m}$ とする．また，力のNとkg, m, s の間の換算係数 $k_F\sim\mathrm{kg\ m/N\ s^2}$ を導入して次元行列を書くと，
　 $\begin{pmatrix} \cdot & \rho & \sigma & \nu & \Gamma & U & \delta & g & \theta_A & k_F \\ \mathrm{N} & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ \mathrm{kg} & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ \mathrm{m} & -3 & -1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \mathrm{s} & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$
物理量が9個，次元が4個なので5個の無次元数があるだろうと予想される．

$\theta_A$ ．
$\Pi_1:=\Gamma/U\delta=1$ ．
$\Pi_2:=3\nu\Gamma/g\delta^3$ ．層流のとき $\Pi_2=1$ ．
追加した $k_F$ を無次元化するもので，たとえば $\Pi_3:=k_F\ g\Gamma/U^3$ ．しかし本来必要ない $k_F$ が現象に影響している訳はないので，この $\Pi_3$ は最終的に現れないはず．よって無視できる．
段階を踏んで考える．
- ウェーバー数 $We$ は無次元にならず， $We/k_F=\rho U^2\delta/k_F\sigma$ が無次元になる．
- モートン数 $Mo$ も無次元にするためには， $k_F^2 Mo=k_F^2 g \nu^4 \rho^3/\sigma^3$ としなければならない．
- $k_F$ は $\Pi_3$ で考慮しているので5つ目には入れたくない．これら2つの無次元数から $k_F$ を消すには， $\Pi_4:=We^2Mo=\rho^5\nu^4U^4\delta^2g/\sigma^5$ であればよい．

$\Pi_1$ は定数．液膜が層流という仮定の下では $\Pi_2$ も定数． $\Pi_3$ は上述の理由により無視．
よって， $f(\Pi_4, \theta_A)=f(We^2Mo, \theta_A)=0$ という関係式が成り立つと予想できる．3元系よりも情報量の多い結果が得られた．

検証

参考文献1には
　 $\displaystyle 1.2We-(1-\cos\theta_A)+6.94Mo^{1/5}We^{2/5}\left[\frac{\theta_A-\sin\theta_A\cos\theta_A}{(1-\cos\theta_A)^2}\right]=0$
という判定式（式(11)）が書いてある．
惜しいのだけど $f(We^2Mo, \theta_A)=0$ という形になっておらず，4元系による考察が当てはまらない．
なんか間違えたか？