（計算メモ）反対称行列の固有値と固有ベクトル

折角計算したので，捨て置くのも勿体ないし書き残しておく．

3次の反対称行列

$\begin{bmatrix}0 & c & -b \\ -c & 0 & a \\ b & -a & 0\end{bmatrix}$
の固有値と固有ベクトルを求めよ．

$r^2:=a^2+b^2+c^2$ とする．

1個目の固有値 $\lambda$ ・固有ベクトル $\boldsymbol{v}$ は

$\lambda=0, \quad \boldsymbol{v} = \begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}$

2個目は

$\lambda=ir,\quad \boldsymbol{v} = \begin{bmatrix}ab+irc\\b^2-r^2\\bc-ira\end{bmatrix}$

3個目は

$\lambda=-ir,\quad \boldsymbol{v} = \begin{bmatrix}ab-irc\\b^2-r^2\\bc+ira\end{bmatrix}$

2, 3個目の固有ベクトルを求めるのが大変だったけど，一度見つけてしまえば検算は簡単．なので証明は省略．

todo: 反対称行列を4次に拡張し，また計量もミンコフスキー計量とするとどうなる？

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