wetchのブログ

他人に見られることを想定していない書き散らかし独習ノート．物理学とかVBAとか．

c数とかq数とか，他

物理学・数学

参考文献

杉田勝実，岡本良夫，関根松夫，経路積分と量子電磁力学 POD版，第1版，1998
https://d49fda61-63a5-430e-8ea0-8f3a10c6a025.filesusr.com/ugd/be26a4_bdf1093828c9404d8a458aafb1d3133b.pdf?index=true

量子力学で c数とかq数っていうのを聞くが，これって他にも種類があったんだ．．．というのを文献で知ったのでメモを置いておく．
まあ他の種類がどのくらい広く使われてるのかは知らんけど．

できるだけ本に書いてある通りに書き写してみる．

c数（common number）：通常の数（複素数）
q数（quantum number）：（ヒルベルト空間上の）作用素

以上2つはディラックによる命名．

e数：exterior algebra（外積代数）に属する数．すなわち体 $K:=\mathbb{R}\text{ or }\mathbb{C}$ として， $N$ 次元ベクトル空間 $K_N$ 上の完全反対称R重線形形式の集合 $\Lambda^R$ の直積集合 $\mathfrak{G}(K_N^*):=\Lambda^1\times\cdots\times\Lambda^N$ に外積 $\wedge$ を定義して，その $K_N^*$ 上の外積代数 $\mathfrak{G}(K_N^*)$ の元がe数（ $K_N^*$ は $K_N$ の双対空間）．
a数：anticommuting number. 反可換数であるグラスマン数の略記．任意のe数を $\mathsf{a}=(\lambda_0,\lambda_1,...,\lambda_N) \in\mathfrak{G}(K_N^*),\quad\lambda_n\in\Lambda^n$ と表現した時に， $\lambda_1$ 以外はすべて0であるようなe数の集合 $\Gamma_N:=\{\mathsf{a}|\mathsf{a}=(0_0,\lambda_1,0_2,...,0_N)\} \subset\mathfrak{G}(K_N^*),\quad\lambda_1\in K_N^*$ （ $0_n$ は $\Lambda^n$ のゼロ元）の元がa数．

性質

2個のa数の積 $\xi_1\xi_2$ は任意のe数と可換．しかし $\xi_1\xi_2=0$ でない限り $\xi_1\xi_2$ はc数ではない．「2個」の部分は「一般に偶数個の」としてよい．
任意のa数の積 $\xi_1\xi_2\dots\xi_R$ において $m$ 番目と $n$ 番目の因子を入れ替えれば符号が変わる．つまり，任意のa数の積 $\xi_1\xi_2\dots\xi_R$ は添え字 $(1,2,...,R)$ に関して完全反対称．

本の続きに，a数を使った（古典）解析力学や量子力学についての説明があるが，今のところ全然読み進められない．．．