荷電粒子の運動まとめ

電磁場 $A_\mu(x^\mu)$ の中にある，静止質量 $m$ 電荷 $e$ の質点の運動を考える．

4次元

2元系を使う，つまり光速などの定数は表記上省略する．
$\tau$ を質点の固有時間， $x^0=t=\gamma\tau$ を座標系の時間，上付きドットは $t$ による微分とする．*1

作用1-formとその微分は
　 $\begin{align}\Omega&=L\mathrm{d}t=-m\mathrm{d}\tau+eA_\mu\mathrm{d}x^\mu,\\ \mathrm{d}\Omega&=\mathrm{d}p_\mu\wedge\mathrm{d}x^\mu+(p_\mu\mathrm{d}p_\mu-m\mathrm{d}\dot{x}^\mu)\wedge\mathrm{d}t=(\mathrm{d}p_\mu-\frac{dV}{dx}\mathrm{d}t)\wedge(\mathrm{d}x^\mu-\frac{1}{m}\mathrm{d}p_\mu) \end{align}$

（中略）

ラグランジアンは*2
　 $L(x^\mu,\dot{x}^\mu)=-\frac{m}{\gamma}+eA_\mu \dot{x}^\mu.$
よって運動方程式は
　 $\mathrm{d}L=\dot{p_\mu}\mathrm{d}x^\mu+p_\mu\mathrm{d}\dot{x}^\mu$
言い換えると
　 $\begin{align} p_\mu&=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^\mu}=m\gamma\dot{x}_\mu+eA_\mu, \\ \dot{p}_\mu&=\frac{\partial L}{\partial x^\mu}=e\dot{x}^\nu\frac{\partial A_\nu}{\partial x^\mu}\end{align}$
これらを $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}p_\mu=\dot{p}_\mu$ に代入して整理すると
　 $m\gamma\ddot{x}_\mu=e\dot{x}^\nu\left(\frac{\partial A_\nu}{\partial x^\mu}-\frac{\partial A_\mu}{\partial x^\nu}\right) =: e\dot{x}^\nu F_{\mu\nu}.$

一方ハミルトニアンは，運動量と合わせて4元ベクトル $p_\mu\equiv(H,p_i)$ と考えると
　 $(p_\mu-eA_\mu)(p^\mu-eA^\mu)=-m^2.$ *3
で，
　 $\mathrm{d}H=-\dot{p_\mu}\mathrm{d}x^\mu+\dot{x}^\mu\mathrm{d}p_\mu$
に代入するために偏微分すると
　 $\dot{x}^\mu=\frac{\partial H}{\partial p_\mu}=?$
（中略）

3次元

上述のガンマ因子が $\gamma(v)\simeq 1+\frac{1}{2}v^2$ と近似されることを利用して時間と空間を分離していく．*4

ラグランジアンは
　 $L(t,x^i,\dot{x}^i)=-m(1+\frac{1}{2}\dot{x}_i\dot{x}^i)+e(\phi-A_i \dot{x}^i)$
なので右辺にマイナス掛けて，第1項の $m$ を無視して
　 $L(t,x^i,\dot{x}^i)=\frac{m}{2}\dot{x}_i\dot{x}^i-e\left\{\phi(t,x^i)-\dot{x}^iA_i(t,x^i)\right\}$
運動方程式は
　 $\mathrm{d}L=\dot{p_i}\mathrm{d}x^i+p_i\mathrm{d}\dot{x}^i$
言い換えて
　 $\begin{align}p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^i}&=m\dot{x}_i+eA_i,\quad \therefore \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}=m\ddot{x}_i+e\frac{\partial A_i}{\partial t}+e\dot{x}^j\frac{\partial A_i}{\partial x^j},\\ \dot{p}_i=\frac{\partial L}{\partial x^i}&=-e \frac{\partial \phi}{\partial x^i} +e \dot{x}^j\frac{\partial A_j}{\partial x^i} \end{align}$
より，
　 $\begin{align}m\ddot{x}_i&=-e\left\{\frac{\partial \phi}{\partial x^i}+\frac{\partial A_i}{\partial t} + \dot{x}^j\left(\frac{\partial A_i}{\partial x^j}-\frac{\partial A_j}{\partial x^i}\right)\right\} =e(E_i+\dot{x}^j B_{ij}),\\ E_i&:=-\frac{\partial \phi}{\partial x^i}-\frac{\partial A_i}{\partial t},\quad B_{ij}:=-\frac{\partial A_i}{\partial x^j}+\frac{\partial A_j}{\partial x^i}. \end{align}$
で， $\tilde{B}_k:=\frac{1}{2}\epsilon^{ij}_{k}B_{ij},\quad B_{ij}=\epsilon^k_{ij}\tilde{B}_k$ で $B$ をベクトルのように考え計算を進めると*5
　 $\begin{align}m\ddot{x}_i&=e(E_i+\dot{x}^j \epsilon^k_{ij}\tilde{B}_k),\\ m\ddot{\boldsymbol{x}}&=e(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{\dot{x}}\times\boldsymbol{B}).\end{align}$

ハミルトニアンは
　 $H(t,x^i,p_i)=\frac{1}{2m}(p_i-eA_i)(p^i-eA^i)+e\phi.$
　 $\mathrm{d}H=-\dot{p_i}\mathrm{d}x^i+\dot{x}^i\mathrm{d}p_i$
（中略）

正準変換とゲージ変換

作用を表す1-formは
　 $\Omega=p_i\mathrm{d}x^i-H\mathrm{d}t,$
　 $\mathrm{d}\Omega=\left(\mathrm{d}p_i+\frac{\partial H}{\partial x^i}\mathrm{d}t\right)\wedge\left(\mathrm{d}x^i-\frac{\partial H}{\partial p_i}\mathrm{d}t\right).$
これを変数変換を考える．すなわち $\mathrm{d}\Omega'=\mathrm{d}\Omega \iff \Omega'=\Omega-\mathrm{d}W$ となる母関数 $W$ について考える．

変数変換は $(x^i,p_i)$ から $(x_i,P_i)$ への変換に限定し，母関数 $W(x^i,P_i):=x^iP_i-e\chi(x^i,t)$ とおくと
　 $\begin{align}&X^i=\frac{\partial W}{\partial P_i}=x^i,\\ &p_i=\frac{\partial W}{\partial x^i}=P_i-e\frac{\partial \chi}{\partial x^i},\\ &H'(X^i,P_i)=H-e\frac{\partial \chi}{\partial t}\end{align}$
これと荷電粒子のハミルトニアン $H=\frac{1}{2m}(p_i-eA_i)(p^i-eA^i)+e\phi$ を組み合わせて
　 $\begin{align}H'(X^i,P_i)&=\frac{1}{2m}(P_i-e\frac{\partial \chi}{\partial x^i}-eA_i)(P^i-e\frac{\partial \chi}{\partial x_i}-eA^i)+e\phi-e\frac{\partial \chi}{\partial t} \\ &=\frac{1}{2m}(P_i-eA'_i)(P^i-eA'^i)+e\phi' \end{align}$
ここで $A'_i:=A_i+\frac{\partial \chi}{\partial x^i},\quad \phi':=\phi-\frac{\partial \chi}{\partial t}$ はゲージ変換．

ということは $H'=0$ を意味するハミルトン・ヤコビ方程式
または
　 $\frac{\partial W}{\partial t}+H=0, \quad p_i=-\frac{\partial H}{\partial x^i}$
で言うと（中略）．ハミルトニアンが時間依存しなければ変数分離できて（中略）．

具体化

次は特定の状況下における具体的な計算をする．

静止した点電荷にはたらくクーロン力

原点を中心とする点電荷 $E$ と，原点から $r$ だけ離れた位置の点電荷 $e$ にはたらく力を求めるために，まず $E$ だけが存在するとしての電束密度 $\boldsymbol{D}$ を計算する． $\operatorname{div}\boldsymbol{D}=\rho$ より $\boldsymbol{D}(\boldsymbol{r})=\frac{E}{4\pi |r|^2}\boldsymbol{e}_r$ ．ここで $\boldsymbol{e}_r$ は半径方向の単位ベクトル．よって $\boldsymbol{E}=\frac{1}{cZ}\boldsymbol{D}=\frac{E}{4\pi cZ|r|^2}\boldsymbol{e}_r$ ．よって $q$ にはたらく力は
　 $\boldsymbol{f}=e\boldsymbol{E}=\frac{eE}{4\pi cZ|r|^2}\boldsymbol{e}_r.$ *6

定常直線電流間にはたらく力

距離 $d$ だけ離れて平行に走る2本の直線電流 $I_1, I_2$ にはたらく力を求める．*7 まず原点を通りx軸に一致する $I_1$ だけが存在するとして磁場 $\boldsymbol{H}$ を計算する． $\operatorname{rot}\boldsymbol{H}-\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t}=\boldsymbol{j}, \quad(\boldsymbol{D}=0)$ を空間積分して $H=\frac{1}{2\pi d}I_1$ ．よって $B=\frac{c}{Z}H=\frac{c}{2\pi Zd}I_1$ ．よって $I_2$ にはたらく力は $\boldsymbol{f}=\boldsymbol{j}\times\boldsymbol{B}$ より
　 $F=\frac{Z}{2\pi cd}I_1 I_2$ ．