コールブルックの式 - wetchのブログ

参考文献

ja.wikipedia.org

やりたいこと

コールブルックの式

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{f}}= -2 \log_{10}\left[\frac{a}{\sqrt{f}} + b \right] \tag{1}$ を $f$ について解くと $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{f}} = \frac{2}{\ln 10} W\left(\frac{\ln 10}{2a} 10^{b/2a}\right) - \frac{b}{a} \tag{2}$ となることを示せ．ただし $W$ はランベルトのW関数（ $xe^x$ の逆関数）．

※この式を実際に使うときは， $Re$ をレイノルズ数， $\varepsilon/D_\mathrm{H}$ を相対粗度として

$\displaystyle a = \frac{2.51}{Re},\quad b = \frac{\varepsilon/D_\mathrm{H}}{3.7}$ である．

解答

式(1)を $y=xe^x$ の形に持っていくために，以下の3つを行う：

対数の底を 10 から e に変更
式全体を e （または10）の肩に乗せる
適当な項を足す（または掛ける）

これら3つはどの順でもやれる．

たとえば，まず対数の底を10から $e$ に変換しよう．式(1)の両辺に ln10 を掛けると

$\begin{align}\frac{\ln{10}}{\sqrt{f}} &= -2 \ln\left[\frac{a}{\sqrt{f}} + b \right]\\ &= -2 \ln{a} -2\ln\left[\frac{1}{\sqrt{f}} + \frac{b}{a}\right].\end{align}$

項順を替えて 2 で割っておく．

$\displaystyle -\ln{a} = \ln\left[\frac{1}{\sqrt{f}} + \frac{b}{2a}\right] + \frac{\ln{10}}{2\sqrt{f}}.$

次に両辺に $\ln[\ln{10}/2] + \ln{10}\cdot b/2a$ を加え，右辺に共通項が出るようにする．

$\begin{align} \ln\left[\frac{\ln{10}}{2}\right] &- \ln{a} + \ln10\cdot\frac{b}{2a}\\ &= \ln\left[\frac{\ln{10}}{2}\right] + \ln\left[\frac{1}{\sqrt{f}} + \frac{b}{a}\right] + \frac{\ln{10}}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{f}} +\frac{b}{a}\right).\end{align}$

最後に両辺を e の肩に乗せる．左辺第3項には $\exp[\ln[10]]=10$ を適用する．

$\displaystyle \frac{\ln{10}}{2a}10^{b/2a} = \frac{\ln{10}}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{f}} +\frac{b}{a}\right)\exp{\left[\frac{\ln{10}}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{f}} +\frac{b}{a}\right)\right]}.$

これで $y=xe^x$ の形にできたのでランベルトのW関数を使って $x=W(y)$ の形にすると