参考文献:深谷,解析力学と微分形式 (現代数学への入門)
あと,まだ読んでないけど以下も役立ちそう:
http://www.sci.osaka-cu.ac.jp/~ohnita/exercise/16ManifoldIInotes(HitoshiYamanaka).pdf
動機とやりたいこと
ベクトル場の微分はで定義されていて,極座標とかで考えるときにはこれを真面目に座標変換して複雑な形になるので泣きながら計算していた.
ところで自身を座標に依存しない形で定義することはできないのだろうか? なぜ1つの座標系に過ぎないデカルト座標で定義されるのか?
その答えとして,どうやら外微分だとそういうことができるらしい.
つまりベクトルの微分を考えるときは座標変換するとややこしくなる一方,外微分はもっと簡単に変換できるということ.
ここではそれを初等的に示してみる.
問題1:∇の場合
2次元空間で考える(高次元への拡張は容易なはず).2種類の座標系とがあり,両者は何らかの関数関係でつながっているとする:
またこの空間上には座標で表されるベクトル場があり,同じ変換則によって,座標上のベクトル場になるとする.このとき
を座標で表し,を示す.
問題1の解答
場所によって変わるベクトル場をいきなり考えるとややこしいので,最初は定ベクトルが座標変換でどう変わるかを考える.
座標で表したベクトルを座標でと表すことにすると,
一方,との関係は,
よって組み合わせて,まずの前半をゴリゴリ計算していくと,
となる(って0じゃないんだろか?).後半も同様に計算すると
前半と後半を足せば
となって,が示せた,らしい.ちょっとよくわからないところあるけど.