工業仕事とルジャンドル変換

ルジャンドル変換って、熱力学だとエンタルピとか自由エネルギを考えるときに出てくるだけなんだけど、よく見たら工業仕事もルジャンドル変換なんじゃないの？
仕事 (熱力学) - Wikipedia
ルジャンドル変換 - Wikipedia

ルジャンドル変換は、関数 $f(x)$ とその変換 $f^*(p)$ の間に
　 $\mathrm{d}f=p\mathrm{d}x,\quad \mathrm{d}f^*=x\mathrm{d}p$
という関係があるから、2つを足せば
　 $\mathrm{d}f+\mathrm{d}f^*=\mathrm{d}(xp)$
になる。

一方、工業仕事 $W^*$ と絶対仕事 $W$ は圧力 $p$ と体積 $V$ を使って
　 $\mathrm{d}W=p\mathrm{d}V,\quad \mathrm{d}W^*=-V\mathrm{d}p$
だから
　 $\mathrm{d}W-\mathrm{d}W^*=\mathrm{d}(pV)$
になる。