ルジャンドル変換 - wetchのブログ

ルジャンドル変換を再び勉強中だが、以下がよう分からん。

1.
線型性ってあるの？つまり、 $f(x)$ と $g(x)$ のルジャンドル変換を $f^*(p), g^*(p)$ としたときに、
　 $[af(x)+bg(x)]^*=af^*(p)+bg^*(p)$
って言っていいの？
内部エネルギやエンタルピが示量性をもつところかすると成り立ちそうなのだけど、はっきりそう書いてあるのを見つけられないし、自力でも証明できない・・・。

2.
他にも関数に簡単な変換を施したときの挙動はどうなるのか？具体的には、1次式を足したらどうなるのか？ $f(x)$ に1次式を足して、
　 $g(x):=f(x)+ax+b$
としたとき、 $f(x)$ と $g(x)$ の凸性は変わらないからルジャンドル変換はできる。そのとき $f^*(p)$ と $g^*(p)$ の関係は？

3.
多変数の場合ルジャンドル変換するのは、少なくとも熱力学でのやり方では、 $\boldsymbol{x}$ の1成分 $x_i$ についてだけ行って、
　 $f^*(p, \boldsymbol{x}_{\text{except }i}):=\inf_{x_i}\{x_i p - f(\boldsymbol{x})\}$
ってのが普通だと思うのだけど、全変数一括でやってもいいらしい。
　 $f^*(\boldsymbol{p}):=\inf_{\boldsymbol{x}}\{\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{p}\rangle - f(\boldsymbol{x})\}$
この2つのやり方の違いは？

4.
離散ルジャンドル変換とかあるから見てみたのだけど、全然分からん。凸関数同士の双対性じゃなくてM凸とL凸の2種類の凸関数の双対性に変更になるところまでは分かったけど。マトロイドって何？