解析力学を逆順に理解する

原理

力学の原理にはニュートンの3法則以外に4つある．

ハミルトン原理（変分原理）：実現する経路 $q(t)$ は，作用 $I:=\int L \mathrm{d}t$ を最小化するようなものである．
修正ハミルトン原理：実現する経路 $(q,p)$ は，作用 $I':=\int (qp-H) \mathrm{d}t$ を最小化するようなものである．
ポアソン括弧式：

　 $\displaystyle \dot{q}=\{q,H\}=\frac{\partial H}{\partial p}, \quad \dot{p}=\{p,H\}=-\frac{\partial H}{\partial q}$

経路積分からハミルトン・ヤコビ方程式：

　 $\displaystyle H\left(q,\frac{\partial S}{\partial q}\right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0,\quad S:=\int L \mathrm{d}t$

微分形式で表現

作用 $s$ という1-形式があって，基底 $\mathrm{d}q,\mathrm{d}t$ で次のように書けるとする：
　 $s=p \mathrm{d}q - H \mathrm{d}t$
ただしこの $s$ は完全形式ではないので $s=\mathrm{d}S$ となるような状態量としての $S$ は存在しないが，経路に依存する量として $S:=\int s$ を定義する．この式からハミルトン・ヤコビ方程式
　 $\displaystyle \frac{\partial S}{\partial t}=-H$
と，
　 $\displaystyle \frac{\partial S}{\partial p}=q$
が出てくる．

また， $H$ は $\mathrm{d}q,\mathrm{d}p$ によって
　 $\mathrm{d}H=-\dot{p}\mathrm{d}q + \dot{q}\mathrm{d}p$
と書ける．ここから正準方程式が出てくる：
　 $\displaystyle \frac{\partial H}{\partial q}=-\dot{p},\quad \frac{\partial H}{\partial p}=\dot{q}.$

$H$ からルジャンドル変換によって $p$ と $\dot{q}$ の役割を入れ替えると $L$ になる：
　 $L:=qp-H,\quad \mathrm{d}L=\dot{p}\mathrm{d}q + p\mathrm{d}\dot{q}.$
ここからラグランジュの運動方程式が出てくる：
　 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}p \equiv \dot{p} = \frac{\partial L}{\partial q}.$

ポアソン括弧

$f$ を， $t$ に陽に依存しない任意の関数とすると，ポアソン括弧を使って
　 $\begin{align} \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}&=\{f,H\},\\ \frac{\partial f}{\partial q}&=\{f,p\},\\ \frac{\partial f}{\partial p}&=-\{f,q\} \end{align}$
と書ける．ここからも正準方程式が導ける：
　 $\begin{align} \frac{\partial H}{\partial q} &=\{H,p\} \equiv -\{p,H\} =-\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}, \\ \frac{\partial H}{\partial p} &= -\{H,q\} \equiv \{q,H\} = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}. \end{align}$