終末沈降速度 (2) - wetchのブログ

前回の次元解析の文献の手法を終末沈降速度の問題に応用してみよう．

球形の水滴（添え字w）が空気中（添え字a）を落下することを考える．変数は直径 $d$ ，落下速度 $u$ ，水の密度 $\rho_w$ ，空気密度 $\rho_a$ ，空気粘度 $\mu_a$ ，重力 $g$ の6つ．

6変数 - 3次元 = 3無次元量の場合

一番普通の考え方として， $\mathsf{MLT}$ の3次元で考えると，
　 $\begin{pmatrix} \cdot & d & u & \rho_w & \rho_a & \mu_a & g \\ \mathsf{M} & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ \mathsf{L} & 1 & 1 & -3 & -3 & -1 & 1 \\ \mathsf{T} & 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & -2 \end{pmatrix}$
より，
　 $\displaystyle Re=\frac{ud\rho_a}{\mu_a},\quad Ga=\frac{d^3 g\rho_a^2}{\mu_a^2},\quad \hat{\rho}=\frac{\rho_w}{\rho_a}$
の3つで $Re=f(Ga, \hat{\rho})$ という関係式が出てくる．

6変数 - 5次元 = 1無次元量の場合（層流）

次元を2つ増やす．質量の次元 $\mathsf{M}$ を水の質量 $\mathsf{M_w}$ と空気の質量 $\mathsf{M_a}$ に分けるのと，力の次元 $\mathsf{F}$ を追加する．
明らかに $[\rho_w]=\mathsf{M_w} \mathsf{L}^{-3},[\rho_a]=\mathsf{M_a} \mathsf{L}^{-3}$ ．
$g$ は水滴にかかる力だから運動方程式 $F_g=m_wg$ のイメージで， $[g]=\mathsf{F M_w}^{-1}$ ．
$\mu$ の運動方程式のイメージは $F_\mu/d^2=\mu_a \mathrm{d}u/\mathrm{d}x$ なので， $[\mu_a]=\mathsf{F L}^{-2} \mathsf{T}$ ．したがって
　 $\begin{pmatrix} \cdot & d & u & \rho_w & \rho_a & \mu_a & g \\ \mathsf{M_w} & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ \mathsf{M_a} & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \mathsf{L} & 1 & 1 & -3 & -3 & -2 & 0 \\ \mathsf{T} & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \mathsf{F} & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$
より，
　 $\displaystyle \frac{u \mu_a}{d^2 \rho_w g}=\frac{Re}{Ga}\frac{\rho_a}{\rho_w}=\text{const.}$
層流のときには厳密解
　 $\displaystyle Re=\frac{1}{18}\left(\frac{\rho_w}{\rho_a}-1\right)Ga$
が分かってるから，半分正解と言ったところ． $\left(\frac{\rho_w}{\rho_a}-1\right)$ の-1の項はこの方法じゃ出ないんだろか．

6変数 - 5次元 = 1無次元量の場合（乱流）

1/7乗則を使った乱流のときの解もやってみる．以降， $1/n=1/7$ とおく．
前回やったのと同じ理屈で（前回は $\mathsf{F}$ の代わりに圧力 $\mathsf{P}$ だったけど）， $\displaystyle [\mu]=\mathsf{F}^\frac{n+1}{2} \mathsf{M_w}^{-\frac{n-1}{2}} \mathsf{L}^{-\frac{n+3}{2}} \mathsf{T}^n$ なので，
　 $\begin{pmatrix} \cdot & d & u & \rho_w & \rho_a & \mu_a & g \\ \mathsf{M_w} & 0 & 0 & 1 & 0 & -\frac{n-1}{2} & -1 \\ \mathsf{M_a} & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \mathsf{L} & 1 & 1 & -3 & -3 & -\frac{n+3}{2} & 0 \\ \mathsf{T} & 0 & -1 & 0 & 0 & n & 0 \\ \mathsf{F} & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{n+1}{2} & 1 \end{pmatrix}$
より，
　 $\displaystyle d^{-\frac{n+3}{2}} u^n \rho_w^{-1} \mu_a g^{-\frac{n+1}{2}} = \frac{Re^n}{Ga^\frac{n+1}{2}} = \text{const.}$
あるいは
　 $Re \propto Ga^\frac{n+1}{2n}$
$n=7$ のとき
　 $Re \propto Ga^\frac{4}{7}$
以前やったときは指数が2/3と1/2だったから，その中間の指数が出てきた．