電磁場まとめ - wetchのブログ

普通の勉強の仕方では，まず具体的な現象を見てから一般化，抽象化していく順序になるが，ここではそれを逆にたどってみる．したがって最初の方ほど難しい話のため自分でもよく分からないまま書いている．

断片情報
基礎方程式（4次元）
3次元化
ベクトル解析化
物理次元の分離（いわゆる単位系の変換）

断片情報

前半は永遠に未完

断片：ホッジの分解定理

ホッジの分解定理より，一般に2-form $F$ は

$F=\mathrm{d}A_1+A_2+\delta A_3$ と3つの部分に分けられる． $A_1$ は1-form， $A_2$ は調和形式の2-form*1， $A_3$ は3-form．おそらく $A_2$ の部分はあってもなくても以降の議論に影響しないっぽいので無視していい． $A_3$ はいわゆる磁気モノポールが存在すれば出てくる項だが，観測する限りは見当たらないので以降は無視する．

断片：ゲージ変換は正準変換

粒子の方のハミルトニアンを正準変換して， $\mathcal{H}(x,p)\rightarrow \mathcal{H}'(x,P)$ とする．

$P=p-\frac{\partial W}{\partial x},\quad \mathcal{H}'=\mathcal{H}+\frac{\partial W}{\partial t}$
ラグランジアン $\mathcal{L},\mathcal{L}'$ で表現すると $\mathcal{L}'=\dot{x}P-\mathcal{H}'=\dot{x}p-\mathcal{H}-\dot{x}\frac{\partial W}{\partial t}-\frac{\partial W}{\partial t}=\mathcal{L}-\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}$
これは母関数 $W$ を，任意関数 $\chi$ を使って $W(t,x)=q\chi(t,x)$ と表すと $\phi'=\phi-\frac{\partial \chi}{\partial t},\quad A'=A+\frac{\partial \chi}{\partial x}$ とゲージ変換したのと同じ．*2

断片：電磁場は $U(1)$ ゲージ場

（略）

基礎方程式（4次元）

ここから先，変数は次元を明記する．
4次元時空 $x^\mu\sim\mathrm{m}, (\mu=0,\dots,4)$ 上の1形式 $A=A_\mu\mathrm{d}x^\mu \sim\mathrm{(Js)^{1/2}}$ と2形式

$\begin{align} F&\equiv F_{\mu\nu}\mathrm{d}x^\mu\wedge\mathrm{d}x^\nu:=\mathrm{d}A \sim \mathrm{(Js)^{1/2}}\\ F_{\mu\nu}&:=\frac{1}{2}(\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu)\sim\mathrm{(Js)^{1/2}/m^2} \end{align}$ を力学的自由度とする．
作用 $\mathcal{S}[A,F]=\int L(A,F),\quad \text{or,}\quad\int\mathcal{L}\mathrm{d}^4x^\mu \sim\mathrm{Js}$ の中にある電磁場のラグランジアンは $\begin{align} L(A,F)&=-\frac{1}{2}F\wedge (*F)-A\wedge j \sim \mathrm{Js}, \\ \mathcal{L}(A_\mu, F_{\mu\nu})&=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-A_\mu j^\mu \sim\mathrm{Js/m^4}.\end{align}$
ここで

$F^{\mu\nu}:=\eta^{\mu\rho}\eta^{\nu\sigma}F_{\rho\sigma}$
$j=j_{\mu\nu\sigma}\mathrm{d}x^\mu\wedge\mathrm{d}x^\nu\wedge\mathrm{d}x^\sigma \sim \mathrm{(Js)^{1/2}}$ は3形式だが，既知でありかつ $\mathrm{d}j=0$ を満たすことを最初から要請する？
$j^\mu$ は $j_{\alpha\beta\gamma}$ をレビチビタかホッジで1形式にしたもの？

作用 $S$ の変分の停留値を考えるとオイラー・ラグランジュ方程式

$\displaystyle \frac{\partial L}{\partial A}+\mathrm{d}\frac{\partial L}{\partial F}=0$ が得られる．
微分形式 $L$ の微分形式 $A,F$ による微分 *3を代入して， $\begin{align} 0&=\mathrm{d}*F-j, \\ 0&=\mathrm{d}\mathcal{L}=F^{\mu\nu}\mathrm{d}F_{\mu\nu}+j^\mu\mathrm{d}A_\mu ? \\ &\Longrightarrow \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_\mu} = j^\mu,\quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial F_{\mu\nu}} = F^{\mu\nu} \\ & \Longrightarrow 0=\partial_\nu\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial F_{\mu\nu}}\right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_\mu} = \partial_\nu F^{\mu\nu}-j^\mu\end{align}$ となるらしい*4 *5 *6．
演算を分解して，自明な式も追加して書くと以下となる： $\mathrm{d}A=F,\ \mathrm{d}F=0,\ \mathrm{d}*F=j,\ \mathrm{d}j=0.$ $\displaystyle \frac{1}{2}(\partial_mu A\nu-\partial_\nu A_\mu) = F_{\mu\nu},\ \partial_\sigma F_{\mu\nu}=0?,\ \partial_\nu F^{\mu\nu}=j^\mu,\ \partial_\mu j^\mu=0.$
これは変数をこういう表で並べて整理できる．*7 $\begin{bmatrix}& \text{potential} & \text{force field} & \text{source field} & \text{charge} & \text{zero}\\ 0 \\ 1 & A \\ 2 && F & *F \\ 3&& & 0 & j \\ 4 & & & && 0\end{bmatrix}$
ここで最左列の0~4の数字は各行の微分形式としての次数を表し，最上行の単語は各列の物理的な意味を表す．

ゲージ変換は $A\rightarrow A'=A+\mathrm{d}\chi$ で表される．*8

3次元化

次に基礎方程式を3次元化する．
外微分 $\mathrm{d}$ から時間微分を切り離すのだけど，符号が厄介．計量テンソル由来なのか反対称性由来なのかがよく分からないがところどころにマイナスが付く．

各4次元の変数や演算子を時間と3次元空間に分離する．

$A=A_\mu\mathrm{d}x^\mu \rightarrow -\phi\mathrm{d}t+A_\mu\mathrm{d}x^\mu,$
$\begin{align}\mathrm{d}A\rightarrow &-\mathrm{d}\phi\wedge\mathrm{d}t+\mathrm{d}A\\ &= -(\partial_t\phi\mathrm{d}t+\mathrm{d}\phi)\wedge\mathrm{d}t+(\partial_tA_\mu\wedge\mathrm{d}t+\partial_\nu A_\mu\mathrm{d}x^\nu)\wedge\mathrm{d}x^\mu \\ &=-\mathrm{d}\phi\wedge\mathrm{d}t-\partial_tA_\mu\mathrm{d}x^\mu\wedge\mathrm{d}t+\mathrm{d}A\\ &=(-\mathrm{d}\phi-\partial_tA)\wedge\mathrm{d}t+\mathrm{d}A,\end{align}$
$F=F_{\mu\nu}\mathrm{d}x^\mu\wedge\mathrm{d}x^\nu\rightarrow E\wedge\mathrm{d}t+B=(E_\mu\mathrm{d}x^\mu)\wedge\mathrm{d}t+B_{\mu\nu}\mathrm{d}x^\mu\wedge\mathrm{d}x^\nu$
（中略）
3次元微分形式による基礎方程式は以下となる： $\begin{align} &-\mathrm{d}\phi-\partial_tA=E, \quad &\mathrm{d}A=B, \\ &\mathrm{d}E+\partial_tB=0, \quad &\mathrm{d}B=0, \\ & *B=H, \quad & *E=D, \\ &\mathrm{d}H-\partial_tD=j, \quad &\mathrm{d}D=\rho, \\ &\mathrm{d}j+\partial_t\rho=0.\end{align}$
これは整理するとこういう表になる．0の部分は省略する． $\begin{bmatrix}& \text{potential} & \text{force field} & \text{source field} & \text{charge}\\ 0 & -\phi \\ 1 & A & E & H \\ 2 && B & D & j \\ 3&& & & \rho\end{bmatrix}$

単位は， $\{\phi,A\}\sim\mathrm{(Js)^{1/2}/m},\ \{E,B,H,D\}\sim\mathrm{(Js)^{1/2}/m^2},\ \{j,\rho\}\sim\mathrm{(Js)^{1/2}/m^3}.$

ゲージ変換は $A'=A+\mathrm{d}\chi, -\phi'=-\phi+\partial_t\chi.$

ベクトル解析化

次に微分形式をベクトル解析の言葉に言い換える．0,3-formはスカラーに，1,2-formはベクトルになり，外微分 $\mathrm{d}$ は微分形式の次数に応じてそれぞれ

0-form: $\mathrm{d}\phi \rightarrow \operatorname{grad}\phi$
1-form: $\mathrm{d}A \rightarrow \operatorname{rot}\boldsymbol{A}$
2-form: $\mathrm{d}B \rightarrow \operatorname{div}\boldsymbol{B}$

という感じに変わる．ホッジスターは見た目からは消える．
よって基礎方程式は以下となる：

$\begin{align} &-\operatorname{grad}\phi-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}=\boldsymbol{E}, \quad &\operatorname{rot}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}, \\ &\operatorname{rot}\boldsymbol{E}+\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}=\boldsymbol{0}, \quad &\operatorname{div}\boldsymbol{B}=0, \\ &\boldsymbol{B}=\boldsymbol{H}, \quad &\boldsymbol{E}=\boldsymbol{D}, \\ &\operatorname{rot}\boldsymbol{H}-\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t}=\boldsymbol{j}, \quad &\operatorname{div}\boldsymbol{D}=\rho, \\ &\operatorname{div}\boldsymbol{j}+\frac{\partial\rho}{\partial t}=0.\end{align}$

ゲージ変換は $A'=A+\operatorname{grad}\chi, -\phi'=-\phi+\frac{\partial \chi}{\partial t}.$

物理次元の分離（いわゆる単位系の変換）

以上まで，単位系は2元系（作用Jsと長さmだけが基本単位）を考えていた．次に定数を付け足していく．ただし付け足し方にはいろいろある．
以下，変換後の変数にプライムをつけて区別するが，各セクションでプライムの意味が異なるので注意．

時間と空間の分離

ヘビサイド ローレンツ系

光速 $c$ （単位m/s）を導入し，時間と空間の次元を分離する．各列の上側の変数に以下のようにかける：

　 $\begin{bmatrix}-\phi' \\ A' & E' & H' \\ & B' & D' & j' \\ & & & \rho'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-c\phi \\ A & cE & cH \\ & B & D & cj \\ & & & \rho\end{bmatrix} \sim\begin{bmatrix}\mathrm{\frac{(Js)^\frac{1}{2}}{s}}\\\mathrm{\frac{(Js)^\frac{1}{2}}{m}}&\mathrm{\frac{(Js)^\frac{1}{2}}{ms}}&\mathrm{\frac{(Js)^\frac{1}{2}}{ms}}\\&\mathrm{\frac{(Js)^\frac{1}{2}}{m^2}}&\mathrm{\frac{(Js)^\frac{1}{2}}{m^2}}&\mathrm{\frac{(Js)^\frac{1}{2}}{m^2s}}\\&&&\mathrm{\frac{(Js)^\frac{1}{2}}{m^3}}\end{bmatrix}$

単位を考えると，3次元化した時点でこの形にした方が座りがいいかもしれない．
基礎方程式は時間と構成式のみが以下のように変わる：
　 $t'=t/c, \quad c\boldsymbol{B'}=\boldsymbol{H'}, \quad \boldsymbol{E'}/c=\boldsymbol{D'}.$

有理emu系

時間と空間の分離を以下のようにしてもよい：

　 $\begin{align}\begin{bmatrix}-\phi' \\ A' & E' & H' \\ & B' & D' & j' \\ & & & \rho'\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}-c^\frac{3}{2}\phi \\ c^\frac{1}{2}A & c^\frac{3}{2}E & c^\frac{1}{2}H \\ & c^\frac{1}{2}B & c^{-\frac{1}{2}}D & c^\frac{1}{2}j \\ & & & c^{-\frac{1}{2}}\rho\end{bmatrix}\\ &\sim\begin{bmatrix}\mathrm{\frac{(Jm)^{1/2}}{s}} \\ \mathrm{(\frac{J}{m})^{1/2}} & \mathrm{(\frac{J}{m})^{1/2}\frac{1}{s}} & \mathrm{\frac{J^{1/2}}{m^{3/2}}} \\ & \mathrm{\frac{J^{1/2}}{m^{3/2}}} & \mathrm{\frac{J^{1/2}s}{m^{5/2}}} & \mathrm{\frac{J^{1/2}}{m^{5/2}}} \\ & & & \mathrm{\frac{J^{1/2}s}{m^{7/2}}}\end{bmatrix}\end{align}$

基礎方程式で変わる部分は以下：
　 $t'=t/c, \quad \boldsymbol{B'}=\boldsymbol{H'},\quad \boldsymbol{E'}/c^2=\boldsymbol{D'}.$

有理esu系

さらに異なる方法で時間と空間を分離する．

　 $\begin{align}\begin{bmatrix}-\phi' \\ A' & E' & H' \\ & B' & D' & j' \\ & & & \rho'\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}-c^\frac{1}{2}\phi \\ c^{-\frac{1}{2}}A & c^\frac{1}{2}E & c^\frac{3}{2}H \\ & c^{-\frac{1}{2}}B & c^\frac{1}{2}D & c^\frac{3}{2}j \\ & & & c^\frac{1}{2}\rho\end{bmatrix}\\ &\sim\begin{bmatrix}\text{omitted.}\end{bmatrix}\end{align}$

基礎方程式で変わる部分は以下：
　 $t'=t/c, \quad c^2\boldsymbol{B'}=\boldsymbol{H'}, \quad \boldsymbol{E'}=\boldsymbol{D'}.$

一般化

以上の3元系は以下のようにパラメータ $\alpha$ でまとめられる．ヘビサイドローレンツは $\alpha=0$ ，emuは $\alpha=-1/2$ ，esuは $\alpha=1/2$ に相当する．

　 $\begin{align}\begin{bmatrix}-\phi' \\ A' & E' & H' \\ & B' & D' & j' \\ & & & \rho'\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}-c^{1-\alpha}\phi \\ c^{-\alpha}A & c^{1-\alpha}E & c^{1+\alpha}H \\ & c^{-\alpha}B & c^\alpha D & c^{1+\alpha}j \\ & & & c^\alpha\rho\end{bmatrix}\end{align}$

基礎方程式で変わる部分は以下：
　 $t'=t/c, \quad c^{2\alpha+1}\boldsymbol{B'}=\boldsymbol{H'}, \quad c^{2\alpha-1}\boldsymbol{E'}=\boldsymbol{D'}.$

エネルギーと電荷の分離

インピーダンス $Z\sim\mathrm{\Omega=Js/C^2}$ を導入することで作用と電荷（単位C）を分離し，Js, m, Cの3元系にする．

　 $\begin{align}&\begin{bmatrix}-\phi' \\ A' & E' & H' \\ & B' & D' & j' \\ & & & \rho'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-\sqrt{Z}\phi \\ \sqrt{Z}A & \sqrt{Z}E & \frac{1}{\sqrt{Z}}H \\ & \sqrt{Z}B & \frac{1}{\sqrt{Z}}D & \frac{1}{\sqrt{Z}}j \\ & & & \frac{1}{\sqrt{Z}}\rho \end{bmatrix} \\ &\sim\begin{bmatrix}\mathrm{\frac{(Js)}{Cm}} \\ \mathrm{\frac{(Js)}{Cm}} & \mathrm{\frac{(Js)}{Cm^2}} & \mathrm{\frac{C}{m^2}} \\ &\mathrm{\frac{(Js)}{Cm^2}}&\mathrm{\frac{C}{m^2}}&\mathrm{\frac{C}{m^3}}\\&&&\mathrm{\frac{C}{m^3}}\end{bmatrix} \end{align}$

左半分と右半分で $\sqrt{Z}$ のかかり方がきれいにグループ分けされており， $Z$ はホッジ作用素を表す量だと言える．別に $Z$ の何乗をかけてもいいのだが，実際に使われているのは1/2乗のパターンのみ．
基礎方程式で変わるのは構成式のみ．時間のとり方は変わらない．
　 $\boldsymbol{B'}/Z=\boldsymbol{H'}, \quad \boldsymbol{E'}/Z=\boldsymbol{D}.$

これとヘビサイドローレンツを組み合わせると，有理4元系（MKSA）になる．

非有理化（立体角の分離）

立体角 $4\pi\sim\mathrm{sr}$ を導入し，無次元だった立体角を有次元とみなす．

　 $\begin{bmatrix}-\phi' \\ A' & E' & H' \\ & B' & D' & j' \\ & & & \rho'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-\phi \\ A & E & {4\pi}H \\ & B & {4\pi}D & j \\ & & & \rho\end{bmatrix}$

これはつまり，電荷 $q$ から電束が全周合計で $D$ 本出ているのか，1ステラジアンあたり $D$ 本出ているのかという定義の違い．
単位は4元系と変化なし（敢えて角度の単位をつける手もあるが）．
基礎方程式で変わるのは
　 $\begin{align}&4\pi B'=H',\quad E'=4\pi D',\\&\operatorname{rot}\boldsymbol{H'}-\frac{\partial\boldsymbol{D'}}{\partial t}=4\pi\boldsymbol{j'}, \quad \operatorname{div}\boldsymbol{D'}=4\pi\rho'.\end{align}$

エネルギーと磁気の分離

対称化係数 $\gamma\sqrt{Z}\sim\mathrm{(Js)^\frac{1}{2}/Wb}$ により作用と磁気の次元を独立させる．磁気に関する変数 $A,B,H$ を以下のように変更する．

　 $\begin{bmatrix}\phi' \\ A' & E' & H' \\ & B' & D' & j' \\ & & & \rho'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\phi \\ \gamma\sqrt{Z} A & E & H/\gamma\sqrt{Z} \\ & \gamma\sqrt{Z} B & D & j \\ & & & \rho\end{bmatrix}$

エネルギーと電荷の分離と同時に適用することで，電気と磁気の分離を行うことになる．

対称化したまま時間と空間を分離

もともと2元系では $\{E,B,D,H\}\sim\mathrm{(Js)^{1/2}/m^2}$ で次元がそろっているのだが， $c$ を導入するとこれらの次元が変わってしまう． $\gamma$ を同時に導入することでせめて $\{E',B'\},\{D',H'\}$ のペアだけでも同じになるようにしたい．

　 $\begin{align}\begin{bmatrix}\phi' \\ A' & E' & H' \\ & B' & D' & j' \\ & & & \rho'\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}c^{1-\alpha}\phi \\ c^{1-\alpha}A & c^{1-\alpha}E & c^\alpha H \\ & c^{1-\alpha}B & c^\alpha D & c^{1+\alpha}j \\ & & & c^\alpha\rho\end{bmatrix}\\ &\sim\begin{bmatrix}\mathrm{\frac{(Js)^{1/2}}{s}\left(\frac{s}{m}\right)^\alpha} \\ \mathrm{\frac{(Js)^{1/2}}{s}\left(\frac{s}{m}\right)^\alpha} & \mathrm{\frac{(Js)^{1/2}}{ms}\left(\frac{s}{m}\right)^\alpha} & \mathrm{\frac{(Js)^{1/2}}{m^2}\left(\frac{m}{s}\right)^\alpha} \\ & \mathrm{\frac{(Js)^{1/2}}{ms}\left(\frac{s}{m}\right)^\alpha} & \mathrm{\frac{(Js)^{1/2}}{m^2}\left(\frac{m}{s}\right)^\alpha} & \mathrm{\frac{(Js)^{1/2}}{m^2}\left(\frac{s}{m}\right)^\alpha} \\ & & & \mathrm{\frac{(Js)^{1/2}}{m^3}\left(\frac{m}{s}\right)^\alpha}\end{bmatrix}\end{align}$

全部乗せ

長さ，時間，エネルギー，立体角，電気，磁気すべてを分離させた6元単位系は以下となる．

　 $\begin{align}\begin{bmatrix}-\phi' \\ A' & E' & H' \\ & B' & D' & j' \\ & & & \rho'\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}-c\sqrt{Z}\phi \\ \gamma\sqrt{Z}A & c\sqrt{Z}E & \frac{4\pi c}{\gamma\sqrt{Z}}H \\ & \gamma\sqrt{Z}B & \frac{4\pi}{\sqrt{Z}}D & \frac{c}{\sqrt{Z}}j \\ & & & \frac{1}{\sqrt{Z}}\rho\end{bmatrix}\\ &\sim\begin{bmatrix}\mathrm{\frac{J}{C}}\\\mathrm{\frac{Js}{Wb\ m}}&\mathrm{\frac{N}{C}}&\mathrm{\frac{Wb\ sr}{m\ s}}\\&\mathrm{\frac{Js}{Wb\ m^2}}&\mathrm{\frac{C\ sr}{m^2}}&\mathrm{\frac{A}{m^2}}\\&&&\mathrm{\frac{C}{m^3}}\end{bmatrix}\end{align}$

基礎方程式
　 $\begin{align}&t'=t/c\\&-\operatorname{grad}\phi'-\frac{1}{\gamma}\frac{\partial\boldsymbol{A'}}{\partial t'}=\boldsymbol{E'}, \quad &\operatorname{rot}\boldsymbol{A'}=\boldsymbol{B'}, \\ &\operatorname{rot}\boldsymbol{E'}+\frac{1}{\gamma}\frac{\partial\boldsymbol{B'}}{\partial t'}=\boldsymbol{0}, \quad &\operatorname{div}\boldsymbol{B'}=0, \\ &\frac{1}{\gamma}\boldsymbol{B'}=\frac{\gamma Z}{4\pi c}\boldsymbol{H'}, \quad &\boldsymbol{E'}=\frac{cZ}{4\pi}\boldsymbol{D'}, \\ &\gamma\operatorname{rot}\boldsymbol{H'}-\frac{\partial\boldsymbol{D'}}{\partial t'}=4\pi\boldsymbol{j'}, \quad &\operatorname{div}\boldsymbol{D'}=4\pi\rho', \\ &\operatorname{div}\boldsymbol{j'}+\frac{\partial\rho'}{\partial t'}=0.\end{align}$

*1: $\mathrm{d}A_2=0,\delta A_2=0$