マクスウェル方程式のための微分形式のエチュード（練習）

マクスウェル方程式の勉強の続きをしてるのだけど，その障壁として外微分とかホッジ作用素とかが立ちはだかってる．
あまり一般的な話をされてもまだついていけないし，あくまで目的はマクスウェル方程式なので，結果だけを公式としてメモっておこう．

以下，基底の表記は $dx_i, (dx,dy,dz)$ などを混在させて書く． $\partial_i$ は座標 $x^i$ による偏微分を表す．また，添え字が上下にペアで出てきてたら和を取る．

参考文献
3次元ユークリッド空間
4次元ミンコフスキー空間

参考文献

3次元ユークリッド空間

外微分

0形式は普通の関数 $f(x)$
1形式は3成分で $A=A^i dx_i$ のように書く．0形式の微分は $df=\partial_x f dx+\partial_y f dy+\partial_z f dz$
2形式も3成分で $F=F^{ij} dx_i\wedge dx_j$ と書く．ウェッジ積は $dx\wedge dy=-dy\wedge dx$ とか $dx\wedge dx=0$ などの性質を持つ．1形式の微分は $\begin{align}dA &= (dA^i)\wedge dx_i \\&= (∂_yA_z-∂_zA_y)dy\wedge dz \\ &+(∂_zA_x-∂_xA_z)dz\wedge dx \\ &+(∂_xA_y-∂_yA_x)dx\wedge dy\end{align}$
3形式は1成分で $\rho=\rho\ dx\wedge dy\wedge dz$ などと書く．2形式の微分は $dF= \partial_x F^{yz}+\partial_y F^{zx}+\partial_x F^{xy}$

ホッジ作用素

3次元なら $xyz$ を循環的に書くことだけ気を付ければ，符号は全部プラスで簡単．

0形式 $f$ に対して3形式 $*f= f dx\wedge dy\wedge dz$
1形式 $A$ に対して2形式 $*A=A^x dy\wedge dz+A^y dz\wedge dx+A^z dx\wedge dy$
2形式 $F$ に対して1形式 $*F=F^{yz} dx+F^{zx} dy+F^{xy} dz$
3形式 $\rho\ dx\wedge dy\wedge dz$ に対して0形式 $*(\rho\ dx\wedge dy\wedge dz)=\rho$
任意の $k$ 形式 $\phi$ に対して $**\phi=\phi$

組み合わせ

外微分 $d$ やホッジ作用素 $*$ は何形式かというのを変化させるけど， $d*d*$ とか $*d*d$ という組み合わせで作用させると形式は変化させない．ただし中身は2階微分に変わる．

0形式 $f$ に対して $*d*d f=\nabla^2 f,\quad d*d*f=0$
1形式 $A$ に対して $(d*d*-*d*d)A=\nabla^2 A=(\nabla^2A^x, \nabla^2A^y, \nabla^2A^z)$
2形式 $F$ に対しては，右辺にマイナスが付くのに注意 $(d*d*-*d*d)F=-\nabla^2 F=(-\nabla^2F^{yz}, -\nabla^2F^{zx}, -\nabla^2F^{xy})$
3形式 $\rho$ に対して $d*d*\rho=\nabla^2 \rho,\quad *d*d\rho=0$

4次元ミンコフスキー空間

空間の向きは $(t, x,y,z)$ の順で考える．計量は文献の好みによって $(-+++)$ だったり $(+---)$ だったりするので，ここでは敢えて $(\pm\mp\mp\mp)$ と書いてみてどこに影響してるのか見てみる．

外微分

0形式は（略）
1形式は4成分．0形式の微分は $df=\partial_t f dt+\partial_x f dx+\partial_y f dy+\partial_z f dz$
2形式は6成分．1形式の微分は $\begin{align}dA=&(\partial_tA^x-\partial_xA^t)dt\wedge dx \\ & +(\partial_tA^y-\partial_yA^t)dt\wedge dy \\ & +(\partial_tA^z-\partial_zA^t)dt\wedge dz \\ & +(\partial_yA^z-\partial_zA^y)dy\wedge dz \\ & +(\partial_zA^x-\partial_xA^z)dz\wedge dx \\ & +(\partial_xA^y-\partial_yA^x)dx\wedge dy \end{align}$
3形式は4成分．2形式の微分を計算するときは，微妙なところにマイナスが現れるのに注意． $\begin{align}dF = &(\partial_xF^{yz}+\partial_yF^{zx}+\partial_zF^{xy})dx\wedge dy\wedge dz\\ &+(\partial_tF^{yz}-\partial_yF^{tz}+\partial_zF^{ty})dt\wedge dy\wedge dz\\ &+(\partial_tF^{zx}-\partial_zF^{tx}+\partial_xF^{tz})dt\wedge dz\wedge dx\\ &+(\partial_tF^{xy}-\partial_xF^{ty}+\partial_yF^{tx})dt\wedge dx\wedge dy \end{align}$
4形式は1成分．3形式の微分は $d\rho=(\partial_t\rho^{xyz}-\partial_x\rho^{tyz}-\partial_y\rho^{tzx}-\partial_z\rho^{txy}) dt\wedge dx\wedge dy\wedge dz$

$*(dx_{p_1}\wedge\cdots\wedge dx_{p_k})=\operatorname{sgn}\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\p_1&p_2&\cdots&p_n\end{pmatrix}(-1)^s dx_{p_{k+1}}\wedge\cdots\wedge dx_{p_n}$
ただし $s$ は右辺の $dx_{p_{k+1}},\dots,dx_{p_n}$ の中にある計量を負とする基底の数とのこと．順列は $(txyz)$ を基準に考える．また基底の数は計量を $(\pm\mp\mp\mp)$ としてたことから注意深く勘定する．すると基底の変換は

0形式に対して $*(1)=-dt\wedge dx\wedge dy\wedge dz$ （∵置換はsgn=+1，計量の数はs=1または3個より(-1)^s=-1だからマイナスが付く）
1形式に対して $\begin{align}*dt &=\pm dx\wedge dy\wedge dz \\ *dx &= \pm dt\wedge dy\wedge dz \\ *dy&=\pm dt\wedge dz\wedge dx \\ *dz&=\pm dt\wedge dx\wedge dy\end{align}$ （∵最初の式はsgn=+1，(-1)^s=±1，後半3式はsgn=-1，(-1)^s=∓1）
2形式に対して $\begin{align}*(dt\wedge dx)&=dy\wedge dz \\ *(dt\wedge dy)&=dz\wedge dx \\ *(dt\wedge dz)&=dx\wedge dy \\ *(dy\wedge dz)&=-dt\wedge dx \\ *(dz\wedge dx)&=-dt\wedge dy \\ *(dx\wedge dy)&=-dt\wedge dz \end{align}$ （∵前半3式はsgn=+1，(-1)^s=+1，後半3式はsgn=+1，(-1)^s=-1）
3形式に対して $\begin{align}*(dx\wedge dy\wedge dz)&=\pm dt \\ *(dt\wedge dy\wedge dz)&=\pm dx \\ *(dt\wedge dz\wedge dx)&=\pm dy \\ *(dt\wedge dx\wedge dy)&=\pm dz\end{align}$ （∵最初の式はsgn=-1，(-1)^s=∓1，後半3式はsgn=+1，(-1)^s=±1）
4形式に対して $*(dt\wedge dx\wedge dy\wedge dz)=1$ （∵sgn=+1，(-1)^s=+1）

検算として，物理のかぎしっぽにある

$**dx_k = (-1)^{k(n-k)+s} dx_k$ に $n=4, s=1,3\Rightarrow (-1)^s=-1$ を適用して $**=\begin{cases}-1,&k=0,2,4 \\ +1,& k=1,3\end{cases}$ であることを確認した．
これを一般の微分形式に適用すると，

0形式 $f$ に対して4形式 $*f= -f dt\wedge dx\wedge dy\wedge dz$
1形式 $A$ に対して3形式 $\begin{align}*A=\pm(&A^t dx\wedge dy\wedge dz \\ &+A^x dt\wedge dy\wedge dz+A^y dt\wedge dz\wedge dx+A^z dt\wedge dx\wedge dy)\end{align}$
2形式 $F$ に対して2形式 $\begin{align}*F=&-F^{yz} dt\wedge dx-F^{zx} dt\wedge dy-F^{xy} dt\wedge dz \\ & +F^{tx} dy\wedge dz+F^{ty} dz\wedge dx+F^{tz} dx\wedge dy\end{align}$
3形式に対して1形式 $*\rho=\pm(\rho^{xyz}dt+\rho^{tyz}dx+\rho^{tzx}dy+\rho^{txy}dz)$
4形式に対して0形式 $*(f\ dt∧dx∧dy∧dz)=f$

組み合わせ

以下に出てくる $\partial_{tt}-\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\frac{\partial^2}{\partial x^2}-\frac{\partial^2}{\partial y^2}-\frac{\partial^2}{\partial z^2}$ はいわゆるダランベルシアンであることを一応注記．
演算子の差を取ってた3次元と違って，左辺が和になっているのに注意（これは余微分δというのを使えば統一的に書けるらしいが，まだ理解していない）．

0形式 $f$ に対して $*d*d f=(\partial_{tt}-\nabla^2)f,\quad d*d*f=0$
1形式 $A$ に対して $(d*d*+*d*d)A=(\partial_{tt}-\nabla^2)A$
2形式 $F$ に対して $(d*d*+*d*d)F=\pm(\partial_{tt}-\nabla^2)F$ （右辺に±がついている，つまり計量の符号の取り方によって変わるのに注意）
3形式 $\rho$ に対して $(d*d*+*d*d)\rho=(\partial_{tt}-\nabla^2)\rho$
4形式に対して $d*d*f=\pm(\partial_{tt}-\nabla^2)f,\quad *d*df=0$ （右辺に±がついているのに注意）