磁荷を持つ電磁気学 - wetchのブログ

電磁気学をより理解するために磁気単極子に手を出してみた．

参考文献

参考になる（自分のレベルで読める）サイトが意外と少ない．．．

小谷太郎，磁荷のある電磁気学 archive.ph
北村徳隆，微分形式を用いたMaxwell理論の考察http://www.salesio-sp.ac.jp/papers/sotsuken/2012/pdf/documents/cs/5205.pdf
モノポールがある場合の電磁気学とベクトルポテンシャル - Togetter

とりあえず上の文献を自分なりにまとめてみる．

磁荷・磁流密度 $j_\text{mag}=(\rho_\text{mag},\boldsymbol{j}_\text{mag})$ は1形式．
ポテンシャルも $A=(\phi,\boldsymbol{A})$ だけでおさまらず，もう一つ $A_\text{mag}=(\phi_\text{mag},\boldsymbol{A}_\text{mag})$ が出てくる．しかもこれは3形式．
ローレンスゲージは $\delta A = 0$ に加えて $\mathrm{d}A_\text{mag} = 0$ ．ここで $\delta=*\mathrm{d}*$ は余微分．
ポテンシャルと電磁場テンソルの関係
- $\left\{\begin{align}F^{\mu\nu} &= \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu + \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\partial_\rho (A_\text{mag})_\sigma \\ (F_\text{mag})_{\mu\nu} &= \partial_\mu (A_\text{mag})_\nu - \partial_\nu (A_\text{mag})_\mu + \epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}\partial^\rho A^\sigma\end{align}\right.$
- $F=\mathrm{d}A$ は $F=\mathrm{d}A+\delta A_\text{mag}$ と書き変わる．背景にはドラーム・小平・ホッジの分解定理とやらが関係している．
  ローレンスゲージを課すと $F=(\mathrm{d}+\delta)(A+A_\text{mag})$ だが，1形式と3形式って足していいのか？
- 敢えて3次元ベクトル場として表すと
  $\left\{\begin{align}\boldsymbol{E}&=-\operatorname{grad}\phi-\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}-\operatorname{rot}\boldsymbol{A}_\text{mag}\\\boldsymbol{B}&=-\operatorname{grad}\phi_\text{mag} - \frac{\partial \boldsymbol{A}_\text{mag}}{\partial t} + \operatorname{rot}\boldsymbol{A}\end{align}\right.$
マクスウェル方程式
- $\left\{\begin{align}\partial_\rho F^{\mu\rho} &= j^\mu\\\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\partial_\nu F_{\rho\sigma} &= 2(j_\text{mag})^\mu\end{align}\right.$
- $\left\{\begin{align}\mathrm{d}*F&=j \Longleftrightarrow \delta F=*j\\\mathrm{d}F&=-*j_\text{mag}\end{align}\right.$
ポテンシャルで書いたマクスウェル方程式
- $\left\{\begin{align}\partial^\rho \partial_\rho A^\mu - \partial^\mu \partial_\rho A^\rho &= - j^\mu\\\partial^\rho \partial_\rho A_\text{mag}^\mu - \partial^\mu \partial_\rho A_\text{mag}^\rho &= - j_\text{mag}^\mu\end{align}\right.$
- $\left\{\begin{align}\mathrm{d}*\mathrm{d}A&=j\\\mathrm{d}*\mathrm{d}A_\text{mag}&= j_\text{mag}\end{align}\right.$
- ローレンスゲージを課すと $(\mathrm{d}\delta+\delta \mathrm{d})(A+A_\text{mag})=*(j+j_\text{mag})$ ．これも1形式と3形式を足してるので不安．
ゲージ変換は，通常の変換とは独立な関数を使って行える．
エネルギに関する式にはあまり変更はない．
- ラグランジアンに磁流密度と磁気ポテンシャルの内積が加わる．