物理量の集合の数学的性質って？

動機
整理
感想
追記

動機

物理量って演算するときの制限が特殊なので，数学的にはどうなっているのか整理してみた．
基本的には当たり前のことしか書いていないし，いつものごとく結論は出ないので注意．

整理

物理量全体の空間を $\mathbb{P}$ とすると，これは数値（実数）部分と次元部分の直積で表される．
つまり $\mathbb{D}$ を次元部分を表す空間（次元空間と呼ぼう）として
　 $\mathbb{P}=\mathbb{R}\times\mathbb{D}$ ．
数値部分を取り出す記号を $\{\cdot\}:\mathbb{P}\rightarrow\mathbb{R}$ ，次元部分を取り出す記号を $[\cdot]:\mathbb{P}\rightarrow\mathbb{D}$ とすれば，物理量 $\forall Q\in\mathbb{P}$ は
　 $Q=\{Q\}[Q]$
と書かれる．
$\{Q\}$ は普通の実数なので，以降は次元部分 $[Q]$ について考えていこう．

積について

次元空間 $\mathbb{D}$ には積の演算が定義されており，可換群である．
つまり， $\forall[Q_1],[Q_2]\in\mathbb{D}$ に対して

$[Q_3]:=[Q_1][Q_2]=[Q_2][Q_1]\in\mathbb{D}$ が存在する．
無次元 $[e]$ と呼ばれる単位元が存在する． $[e][Q_1]=[Q_1][e]=[Q_1]$ ．
逆元 $[Q_1]^{-1}$ が存在する．

$\mathbb{D}$ は有限群ではない．また，どんな $[Q]\in\mathbb{D},k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ でも， $[Q]\neq[e]$ なら $[Q]^k\neq[e]$ ．*1

また， $\forall[Q]\in\mathbb{D},\forall k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ に対して $[q]^k=[Q]$ となる $[q]\in\mathbb{D}$ が存在する．これを $[q]=[Q]^{1/k}$ と書く．つまり次元は有理数乗が可能．

この $\mathbb{D}$ の積を用いて， $\mathbb{P}$ の積が定義される：2つの物理量 $Q_1,Q_2\in\mathbb{P}$ の積は
　 $Q_1Q_2:=(\{Q_1\}\{Q_2\})([Q_1][Q_2])$
である． $\mathbb{P}$ も可換群となる．

ベクトル空間化

積の性質より，次元空間 $\mathbb{D}$ に特別な次元 $[\hat{Q}_1],\dots,[\hat{Q}_n]$ *2 を用意して， $\forall[Q]\in\mathbb{D}$ が
　 $[Q]=[\hat{Q}_1]^{k_1}\cdots[\hat{Q}_n]^{k_n},\quad k_1,\dots,k_n\in\mathbb{Q}$
と書ければ． $[\hat{Q}_1],\dots,[\hat{Q}_n]$ を基底として $[Q]\mapsto(k_1,\dots,k_n)\in\mathbb{Q}^n$ というベクトルへの対応が可能となる．*3 *4

基底の中に無次元 $[e]$ を追加して物理量空間 $\mathbb{P}$ からベクトルへの対応を考えてもいい気もするが， $\mathbb{R}\times\mathbb{Q}^n$ というちょっと不自然な空間になるためか？実際にはあまり用いられない．

和について

2つの物理量 $Q_1,Q_2\in\mathbb{P}$ の和は，次元部分が等しいときのみ可能で，
　 $\displaystyle Q_1+Q_2:=\begin{cases}(\{Q_1\}+\{Q_2\})[Q_1] & \text{if}\ [Q_1]=[Q_2], \\ \text{undefined} & \text{if}\ [Q_1]\neq[Q_2].\end{cases}$
と定義される．*5
この曲者の条件のために，物理量空間 $\mathbb{P}$ は環とかベクトル空間とか，既存の有名な空間にはならない．