計算練習：正準変換 - wetchのブログ

やりたいこと
その1
その2
その3
その4

やりたいこと

前提知識として，正準変換 - Wikipediaによると、正準変換 $(q,p)\mapsto (Q,P)$ について

恒等変換（ $Q=q,\ P=p$ ）をするための母関数は $W_2(q,P)=qP$
入れ替え（ $Q=p,\ P=-q$ ）をするための母関数は $W_1(q,Q)=qQ$

である．これを踏まえて，これら2つの途中形の正準変換

$\begin{align}Q&=q\cos\theta+p\sin\theta, \\P&=-q\sin\theta+p\cos\theta\end{align}$ を行う母関数を探す。

その1

母関数に $W_1(q,Q)$ を使うパターンで考える．まず $p,P$ を $q,Q$ で表す必要がある．

$\begin{align}p&=-\frac{q}{\tan\theta}+\frac{Q}{\sin\theta}, \\ P&=-\frac{q}{\sin\theta}+\frac{Q}{\tan\theta}.\end{align}$ これが $W_1$ の微分になってる訳だから $\begin{align} \frac{\partial W_1}{\partial q}&=p=-\frac{q}{\tan\theta}+\frac{Q}{\sin\theta}, \\ \frac{\partial W_1}{\partial Q}&=-P=\frac{q}{\sin\theta}-\frac{Q}{\tan\theta}.\end{align}$ これを満たすように適当に積分すると $\displaystyle W_1(q,Q)=\frac{qQ}{\sin\theta}-\frac{q^2+Q^2}{2\tan\theta}.$

その2

母関数に $W_2(q,P)$ を使うパターンで考える．まず $Q,p$ を $q,P$ で表す．

$\begin{align}p&=q\tan\theta+\frac{P}{\cos\theta}, \\Q&=\frac{q}{\cos\theta}+P\tan\theta.\end{align}$ これが $W_2$ の微分になってる訳だから $\begin{align}\frac{\partial W_2}{\partial q}&=p=q\tan\theta+\frac{P}{\cos\theta}, \\\frac{\partial W_2}{\partial P}&=Q=\frac{q}{\cos\theta}+P\tan\theta.\end{align}$ これを満たすように積分すると $\displaystyle W_2(q,P)=\frac{qP}{\cos\theta}+\frac{(q^2+P^2)\tan\theta}{2}.$

ちなみに， $W_1,W_2$ はルジャンドル変換なので

$W_2=QP+W_1$ が成り立つ．

∵

$\displaystyle W_2-W_1=\frac{1}{2\cos\theta\sin\theta}\{(q-(Q\cos\theta-P\sin\theta))^2+2QP\cos\theta\sin\theta\}.$ ここで， $Q=q\cos\theta+p\sin\theta,\ P=-q\sin\theta+p\cos\theta$ であるから右辺第1項は消え， $W_2-W_1=QP.$

その3

母関数に $W_3(p,Q)$ を使う．同様に考えていくと，

$\displaystyle W_3(p,Q)=-\frac{pQ}{\cos\theta}+\frac{(p^2+Q^2)\tan\theta}{2}$

∵

$q,P$ を $p,Q$ で表して $W_3$ の微分と等置すると $\begin{align} \frac{\partial W_3}{\partial p}&=-q=-\frac{1}{\cos\theta}(-p\sin\theta+Q), \\ \frac{\partial W_3}{\partial Q}&=-P=-\frac{p}{\cos\theta}+Q\tan\theta.\end{align}$
これを積分する．

これは $W_1$ と $W_1=qp+W_3$ の関係を持つ．

∵

$\begin{align}W_1-W_3 &= \frac{qQ}{\sin\theta}-\frac{q^2+Q^2}{2\tan\theta}+\frac{pQ}{\cos\theta}-\frac{(p^2+Q^2)\tan\theta}{2}\\ &= \frac{1}{2\cos\theta\sin\theta}\{-(Q-(q\cos\theta+p\sin\theta))^2+2qp\cos\theta\sin\theta\}\\ &= qp.\end{align}$

その4

母関数に $W_4(p,P)$ を使う．

$\displaystyle W_4(p,P)=\frac{pP}{\sin\theta}-\frac{p^2+P^2}{2\tan\theta}$

∵

$q,Q$ を $p,P$ で表して $W_4$ の微分と等置すると $\begin{align} \frac{\partial W_4}{\partial p}&=-q=-\frac{p}{\tan\theta}+\frac{P}{\sin\theta}, \\ \frac{\partial W_4}{\partial P}&=Q=\frac{p}{\sin\theta}-\frac{P}{\tan\theta}\end{align}$