メモ：速度は示量性 - wetchのブログ

$\displaystyle S=\int L(q,q',t)\mathrm{d}t$ を考える．ここで $q'=\mathrm{d}q/\mathrm{d}t$ ．これに対して， $S=\displaystyle \int \tilde{L}(q,\dot{q},t,\dot{t})\mathrm{d}\tau$ となるような $\tilde{L}$ を定義する．ただし $\dot{q}=\mathrm{d}q/\mathrm{d}\tau, \dot{t}=\mathrm{d}t/\mathrm{d}\tau$ ．すると $\tilde{L}(q,\dot{q},t,\dot{t})\mathrm{d}\tau = L(q,q',t)\mathrm{d}t,$ $\therefore \tilde{L}(q,\dot{q},t,\dot{t})=L(q,\frac{\dot{q}}{\dot{t}},t)\dot{t}.$ これより，適当な係数 $k$ に対して $\begin{align}\tilde{L}(q,k\dot{q},t,k\dot{t}) &= L\left(q,\frac{k\dot{q}}{k\dot{t}},t\right)k\dot{t} \\&= k\tilde{L}(q,\dot{q},t,\dot{t}).\end{align}$ つまり $\tilde{L}(q,\dot{q},t,\dot{t})$ は $\dot{q},\dot{t}$ に関して1次同次関数．

熱力学の知識を合わせると， $\dot{q},\dot{t}$ は示量性であり，それに共役な運動量 $p$ は示強性であるということになる．．．？

ええ？じゃあハミルトニアンを使ったら？正準変換したらどうなるの？