wetchのブログ

他人に見られることを想定していない書き散らかし独習ノート．物理学とかVBAとか．

摂動入門：2次方程式の級数根

物理学・数学

こんなことしてたって量子力学の理解にはなにひとつつながらないというのに．．．

参考文献

やりたいこと

やりたいことのイメージ
2次方程式（赤線）
ax^2+bx+c=0 \tag{1}
の根（赤丸）を求めたいが，根の公式を知らないとする．ただし1次方程式（青線）の根（青丸）は分かる：
bx+c=0 \Leftrightarrow x=-c/b.
a が微小なら，1次方程式の根から2次方程式の根へのずれも微小だろうと予想されるので，1次方程式の知識を使って近似でもいいので求めたい．そこで2次方程式の根は
\displaystyle x=-\frac{c}{b}+\sum_{i=1}^\infty \phi_i a^i \tag{2}
という a の級数と考えて，係数\phi_iをどうしたらいいか考えていく．
（図の左の方には2次方程式のもう一つの根が見切れているはずだが，今は無視する．）

考察

2次方程式(1)に級数式(2)を代入し，aのべきで整理してみると，

\begin{align} 0 =& \left(\frac{c^2}{b^2} + b\phi_1\right)a + \left(b\phi_2 - \frac{2c}{b}\phi_1\right)a^2 \\ &+ \sum_{i=3}^\infty\left(-\frac{2c}{b}\phi_{i-1} + b\phi_i + \sum_{j=1}^{i-2} \phi_{i-j-1} \phi_j\right) a^i.\end{align} \tag{3}
となる．
∵とにかく代入する．
\begin{align}0 &= a\left(-\frac{c}{b}+\sum_{i=1}^\infty \phi_i a^i\right)^2+b\left(-\frac{c}{b}+\sum_{i=1}^\infty \phi_i a^i\right)+c \\ &= a\left(\frac{c^2}{b^2}-\frac{2c}{b}\sum_{i=1}^\infty \phi_i a^i + \sum_{i=1}^\infty\sum_{j=1}^\infty \phi_i \phi_j a^{i+j}\right) + b\sum_{i=1}^\infty \phi_i a^i.\end{align}

2重和の項についてはk=i+j+1と変数変換して
\displaystyle = \frac{c^2}{b^2}a - \frac{2c}{b}\sum_{i=1}^\infty \phi_i a^{i+1} + \sum_{k=3}^\infty\sum_{j=1}^{k-2} \phi_{k-j-1} \phi_j a^k + b\sum_{i=1}^\infty \phi_i a^i.

第3項のkをiに書き戻す．第2項のi+1を改めてiと書く．
\displaystyle = \frac{c^2}{b^2}a - \frac{2c}{b}\sum_{i=2}^\infty \phi_{i-1} a^i + \sum_{i=3}^\infty\sum_{j=1}^{i-2} \phi_{i-j-1} \phi_j a^i + b\sum_{i=1}^\infty \phi_i a^i.

i=1,2を級数の外に出し，\sum_{i=3}^\infty(\cdots)a^iでまとめると式(3)になる．■

aがどんな値でも式(3)が成り立つためには，各係数が 0 であることが必要だから，ここから\phi_iが求まる：
\displaystyle \left\{ \begin{align} \phi_1 &= -\frac{c^2}{b^3}, \\ \phi_2 &= \frac{2c}{b^2}\phi_1 = -\frac{2c^3}{b^5}, \\ \phi_i &= \frac{2c}{b^2}\phi_{i-1} -\frac{1}{b} \sum_{j=1}^{i-2} \phi_{i-j-1} \phi_j, \quad (i=3,4,\dots).\end{align}\right. \tag{4}

係数の付き方が複雑だが，実は等比数列的な構造があり，

\displaystyle \psi_i:=\frac{2b}{c}\left(\frac{b^2}{2c}\right)^i \phi_i,\quad (i=1,2,...)
と変数変換すると
\displaystyle \left\{ \begin{align} \psi_1 &= -1, \\ \psi_2 &= -1, \\ \psi_i &= \psi_{i-1} -\frac{1}{4} \sum_{j=1}^{i-2} \psi_{i-j-1} \psi_j, \quad (i=3,4,...) \end{align}\right. \tag{5}
と簡潔に書ける．その代わり級数根(2)は
\displaystyle x=-\frac{c}{b}+\frac{c}{2b}\sum_{i=1}^\infty \psi_i \left(\frac{2ac}{b^2}\right)^i \tag{6}
となる．

力尽きた

とは言っても漸化式(4)や(5)の一般項は出せないし，式(2), (6)に代入したら本当に

\displaystyle x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
をaで展開したものになるのかも分からん．