2次方程式の次元解析 - wetchのブログ

http://www.phys.cs.is.nagoya-u.ac.jp/~tanimura/class/H27-tanimura-quantum4.pdf

こちらの5ページに載ってる練習問題：
問9. 2次方程式 $ax^2+bx+c= 0$ の解は
　 $\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
で与えられるが，これらの関係式を次元解析の観点から分析・検討せよ．

について考えてみた。つまり解の公式を知らずに、2次方程式だけ与えられた時にどれだけのことが言えるかを考えてみる。

まず $x$ の次元を $\sf{X}$ 、右辺の 0 の次元を $\sf{Z}$ とする。すると係数の次元は

$a$ : $\sf{X}^{-2} \sf{Z}$
$b$ : $\sf{X}^{-1} \sf{Z}$
$c$ : $\sf{Z}$

となる。

解 $x$ は $a, b, c$ で表されるから、
　 $\displaystyle x=(\mathrm{const.})\times a^\alpha b^\beta c^\gamma\ \cdots(1)$
と表されるはず。ただし(const.)は無次元定数、 $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{Q}$ 。これを次元で表すと
　 $\sf{X}=\sf{X}^{-2\alpha -\beta} \sf{Z}^{\alpha+\beta+\gamma}.$
指数が両辺で一致するから、
　 $\begin{align}1&=-2\alpha-\beta & \cdots(2)\\ 0&=\alpha+\beta+\gamma & \cdots(3)\end{align}$
となる。

変数が $\alpha, \beta, \gamma$ の3つで式が2本だから自由度が1つ残るので、とりあえず $\gamma$ を残す方向で解いてみる。(3)より、
　 $\beta=-\alpha-\gamma.\ \cdots(4)$
これを(2)に代入して、
　 $1=-2\alpha-(-\alpha-\gamma) = -\alpha+\gamma,$
　 $\therefore \alpha=\gamma-1.$
この $\alpha$ を(4)に代入して
　 $\beta=-(\gamma-1)-\gamma = 1-2\gamma.$
ということで結局、(1)は
　 $\displaystyle\begin{align} x&=(\mathrm{const.})\times a^{\gamma-1} b^{1-2\gamma} c^\gamma \\ &=(\mathrm{const.})\times \frac{b}{a}\left(\frac{ac}{b^2}\right)^{\gamma} \end{align}$
$\gamma \in \mathbb{Q}$ は任意で、さらにその和でもよいから、極端に一般化すれば任意の関数 $f$ を使って
　 $\begin{align}x&=\sum_{\gamma}(\mathrm{const.})\times \frac{b}{a}\left(\frac{ac}{b^2}\right)^{\gamma} \\ &=\frac{b}{a}f\left(\frac{ac}{b^2}\right) \end{align}$
または
　 $\displaystyle \frac{x}{b/a}=f(D), \quad D:=\frac{ac}{b^2}\ \cdots(5)$
みたいなことでよい。
結局、次元解析による結論としては、

$x$ は無次元量 $D$ を使って式(5)のように書ける
$D$ によって $x$ の挙動が変化するだろうと予測される（ $f(D)$ で定性的なところを表している）
$b/a$ によって $x$ の大体の大きさが決まる（ $b/a$ で定量的なところを表している）　※解き方によっては $b/a$ じゃなくって $c/b$ だったり $\sqrt{c/a}$ でもいい。