wetchのブログ

他人に見られることを想定していない書き散らかし独習ノート．物理学とかVBAとか．

水面の盛り上がりの高さ (2)

次元解析

これも次元解析していこう．
変数は高さh，表面張力\sigma，密度\rho，重力g，容器の直径d。

5変数 - 3次元 = 2無次元量の場合

　\begin{pmatrix} \cdot & h & \sigma & \rho & g & d \\ \mathsf{M} & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \mathsf{L} & 1 & 0 & -3 & 1 & 1 \\ \mathsf{T} & 0 & -2 & 0 & -2 & 0 \end{pmatrix}
したがって無次元量は，毛管長をl\equiv\sqrt{\sigma/\rho g}として
　\displaystyle \frac{h}{d},\quad \frac{d^2 \rho g}{\sigma}=\left(\frac{d}{l}\right)^2

5変数 - 4次元 =1無次元量の場合

長さ\mathsf{L}を，高さ方向\mathsf{L_h}と水平方向\mathsf{L_d}に分ける．
[h]=\mathsf{L_h}, [d]=\mathsf{L_d}, [\rho]=\mathsf{M L_h}^{-1} \mathsf{L_d}^{-2}, [g]=\mathsf{L_h T}^{-2}．
力の次元\mathsf{F}=[mg]=\mathsf{M L_h T}^{-2}で表面張力\sigmaは線張力だから[\sigma]=\mathsf{M L_h L_d}^{-1}\mathsf{T}^{-2}．よって
　\begin{pmatrix} \cdot & h & \sigma & \rho & g & d \\ \mathsf{M} & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \mathsf{L_h} & 1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ \mathsf{L_d} & 0 & -1 & -2 & 0 & 1 \\ \mathsf{T} & 0 & -2 & 0 & -2 & 0 \\ \end{pmatrix}
無次元量は1つだから
　\displaystyle \frac{h\rho gd}{\sigma}=\frac{hd}{l^2}=\text{const.}

ここで厳密解
　\displaystyle \frac{h}{l} = \frac{l}{d} + \sqrt{\left(\frac{l}{d}\right)^2 + c}
を変形すると，
　\displaystyle \frac{hd}{l^2} = 1 + \sqrt{1 + c\left(\frac{d}{l}\right)^2}
だから結果が異なるんだよな．．．
\mathsf{L_h}と\mathsf{L_d}の換算係数が必須なのか？