クレローの微分方程式

ヨビノリでクレローの微分方程式を学んだ．
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この講義の中では導関数を $p$ と書き直していたのでそれで気づいたのだけど，これルジャンドル変換に似てなくないか？
そのこと陽に記述したのがググっても見当たらないのでよく分からない．

一応英語で関係ありそうなのは見つけたけど，まだタイトル見ただけなので・・・．
https://www.researchgate.net/publication/297729526_Legendre_transformations_and_Clairaut-type_equations

表記を揃えつつ並べて書くとやっぱりよく似てる．

クレローの微分方程式：

　 $\displaystyle y=f(x)=xp-g(p),\quad p=\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}$
で解は
　 $\displaystyle y=cx-g(c)$
という一般解（接線）と，パラメータ表示で
　 $\displaystyle x=\frac{\mathrm{d}g(p)}{\mathrm{d}p}, \quad y=xp-g(p)$
という特異解（包絡線）の2種類．

ルジャンドル変換

関数は十分滑らかとしてsupとかは省略．
　 $\displaystyle g(p)=xp-f(x),\quad p=\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}$
で逆変換がクレローと同じで
　 $\displaystyle f(x)=xp-g(p),\quad x=\frac{\mathrm{d}g(p)}{\mathrm{d}p}$