wetchのブログ

他人に見られることを想定していない書き散らかし独習ノート．物理学とかVBAとか．

微分形式によるラグランジュ方程式・ハミルトン方程式

解析力学

今回は途中計算は省略して結果だけ書いていきます．

参考文献

菅野礼司，微分形式による特殊相対論，丸善，pp.144-146, 161-163

結論

ラグランジュ方程式

\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^r}-\frac{\partial L}{\partial q^r}=0 \tag{1.1}

は次式と等価：
\displaystyle \left\langle \mathrm{d}\Omega,\frac{\partial }{\partial q^r}\right\rangle=0, \quad \left\langle \mathrm{d}\Omega,\frac{\partial }{\partial \xi^r}\right\rangle=0. \tag{1.2}

ただし，\langle\cdot,\cdot\rangleは1形式と1ベクトルの内積を表し，
\begin{align} \xi^r&:=\dot{q}^r, \\ \Omega&:=\frac{\partial L}{\partial \xi^r}\mathrm{d}q^r-\left(\frac{\partial L}{\partial \xi^r}\xi^r-L\right)\mathrm{d}t. \end{align} \tag{1.3}

この\Omegaのことを基本1形式という．また，2階微分 {\partial^2 L}/{\partial\xi^r \partial\xi^s} を並べたヘッシアンの行列式が非ゼロであることを仮定する．記法としては添字の上下で反変，共変の区別をしていることにも注意．

ハミルトン正準方程式

\displaystyle \dot{q}^r=\frac{\partial H}{\partial p_r},\quad \dot{p}_r=-\frac{\partial H}{\partial q^r} \tag{2.1}

は次式と等価：
\displaystyle \left\langle \mathrm{d}\Omega,\frac{\partial }{\partial q^r}\right\rangle=0, \quad \left\langle \mathrm{d}\Omega,\frac{\partial }{\partial p_r}\right\rangle=0. \tag{2.2}

ただし
\Omega=p_r\mathrm{d}q^r-H\mathrm{d}t. \tag{2.3}

導出

ラグランジュ方程式

式(1.3)の\Omegaを微分すると

\displaystyle \mathrm{d}\Omega=\left\{\mathrm{d}\left(\frac{\partial L}{\partial \xi^r}\right)-\frac{\partial L}{\partial q^r}\mathrm{d}t\right\} \wedge \left\{\mathrm{d}q^r-\xi^r\mathrm{d}t\right\} \tag{3.1}

となることから，2つの1形式
\begin{align}\rho^r&:= \mathrm{d}q^r-\xi^r\mathrm{d}t, \\ \theta_r&:= \mathrm{d}\left(\frac{\partial L}{\partial \xi^r}\right)-\frac{\partial L}{\partial q^r}\mathrm{d}t\end{align} \tag{3.2}

を定義すると
\mathrm{d}\Omega=\theta_r\wedge\rho^r \tag{3.3}

と書ける．また，
\begin{align}\left\langle\mathrm{d}\Omega,\frac{\partial }{\partial \xi^r}\right\rangle &= \cdots=\frac{\partial^2 L}{\partial\xi^r \partial\xi^s}\rho^s, \\ \left\langle\mathrm{d}\Omega,\frac{\partial }{\partial q^r}\right\rangle &= \cdots=\frac{\partial^2 L}{\partial q^r \partial \xi^s}\rho^s-\theta_s\delta^s_r \end{align} \tag{3.4}

であること，ヘッシアンの行列式が非ゼロであることに注意すると，
ラグランジュ方程式が成り立つ
\begin{align} &\Leftrightarrow && \rho^r=0, \text{ and } \theta_r=0 \tag{3.5}\\ &\Leftrightarrow && \left\langle\mathrm{d}\Omega,\frac{\partial }{\partial \xi^r}\right\rangle=0, \quad \left\langle\mathrm{d}\Omega,\frac{\partial }{\partial q^r}\right\rangle=0 \tag{3.6}\end{align}

が言える．

ハミルトン正準方程式

式(2.3)の\Omegaを微分すると

\displaystyle \mathrm{d}\Omega=\left\{\mathrm{d}p_r+\frac{\partial H}{\partial q^r}\mathrm{d}t\right\} \wedge \left\{\mathrm{d}q^r-\frac{\partial H}{\partial p_r}\mathrm{d}t\right\} \tag{4.1}

となることから，2つの1形式
\begin{align}\rho^r &:= \mathrm{d}q^r-\frac{\partial H}{\partial p_r}\mathrm{d}t, \\ \theta_r &:= \mathrm{d}p_r-\frac{\partial H}{\partial q^r}\mathrm{d}t\end{align} \tag{4.2}

を定義すると
\mathrm{d}\Omega=\theta_r\wedge\rho^r \tag{4.3}

と書ける．また，
\begin{align}\left\langle\mathrm{d}\Omega,\frac{\partial }{\partial p_r}\right\rangle &= \cdots=\rho^r, \\ \left\langle\mathrm{d}\Omega,\frac{\partial }{\partial q^r}\right\rangle &= \cdots=-\theta_r \end{align} \tag{4.4}

であることから，
ハミルトン正準方程式が成り立つ
\begin{align} &\Leftrightarrow && \rho^r=0, \text{ and } \theta_r=0 \tag{4.5}\\ &\Leftrightarrow && \left\langle\mathrm{d}\Omega,\frac{\partial }{\partial p_r}\right\rangle=0, \quad \left\langle\mathrm{d}\Omega,\frac{\partial }{\partial q^r}\right\rangle=0 \tag{4.6}\end{align}

が言える．

備考